On considère les points A\left(3;4\right), B\left(3;0\right) et C\left(5;4\right).
Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si les droites \left(AB\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires, c'est-à-dire si et seulement si \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0.
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3-3 \cr\cr 0-4 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \cr\cr -4 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 5-3 \cr\cr 4-4 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Or on a :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =0\times 2 + \left(-4\right)\times0 = 0
Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Le triangle ABC est rectangle en A.
On considère les points A\left(1;0\right), B\left(4;9\right) et C\left(-5;2 \right).
Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4-1\cr\cr 9-0 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 9 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -5-1 \cr\cr 2-0\end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -6 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si les droites \left(AB\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires, c'est-à-dire si et seulement si \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0.
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Or on a :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6 \cr\cr -2 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =3\times 6 + 9\times\left(-2\right) = 18-18= 0
Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Le triangle ABC est rectangle en A.
On considère les points A\left(2;3\right), B\left(3;1\right) et C\left(6;5 \right).
Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si les droites \left(AB\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires, c'est-à-dire si et seulement si \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0.
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3-2\cr\cr 1-3 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 6-2 \cr\cr 5-3\end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Or on a :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =1\times 4 + \left(-2\right)\times 2 = 4-4= 0
Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Le triangle ABC est rectangle en A.
On considère les points A\left(2;1\right), B\left(6;3\right) et C\left(-2;9 \right).
Le triangle ABC est rectangle en A ?
Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si les droites \left(AB\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires, c'est-à-dire si et seulement si \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0.
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 6-2\cr\cr 3-1 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4\cr\cr 2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -2-2 \cr\cr 9-1\end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \cr\cr 8 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Or on a :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} -4 \cr\cr 8 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =4\times \left(-4\right) + 2\times 8 =-16+16= 0
Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Le triangle ABC est rectangle en A.
On considère les points A\left(4;2\right), B\left(2;-1\right) et C\left(-1;1 \right).
Le triangle ABC est-il rectangle en B ?
Le triangle ABC est rectangle en B si et seulement si les droites \left(BA\right) et \left(BC\right) sont perpendiculaires, c'est-à-dire si et seulement si \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = 0.
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC}
\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 4-2\cr\cr 2-\left(-1 \right)\end{pmatrix} soit \overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 2\cr\cr 3 \end{pmatrix}
\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -1-2 \cr\cr 1-\left(-1\right)\end{pmatrix} soit \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Or on a :
\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} -3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} =2\times \left(-3\right) + 3\times 2 =-6+6= 0
Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux.
Le triangle ABC est rectangle en B.
On considère les points A\left(1;9\right), B\left(2;8\right) et C\left(5;11 \right).
Le triangle ABC est-il rectangle en B ?
Le triangle ABC est rectangle en B si et seulement si les droites \left(BA\right) et \left(BC\right) sont perpendiculaires, c'est-à-dire si et seulement si \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = 0.
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC}
\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} 1-2\cr\cr 9-8\end{pmatrix} soit \overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -1\cr\cr 1 \end{pmatrix}
\overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 5-2 \cr\cr 11-8\end{pmatrix} soit \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Or on a :
\overrightarrow{BA} \begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} =-1\times 3 + 3\times 1 =-3+3= 0
Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux.
Le triangle ABC est rectangle en B.
On considère les points A\left(1;5\right), B\left(5;2\right) et C\left(4;9 \right).
Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si les droites \left(AB\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires, c'est-à-dire si et seulement si \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0.
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5-1\cr\cr 2-5\end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4\cr\cr -3 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 4-1 \cr\cr 9-5\end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Or on a :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =4\times 3 + \left(-3\right)\times 4 =12-12= 0
Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Le triangle ABC est rectangle en A.