Sommaire
Méthode 1En déterminant un vecteur normal et un point 1Déterminer un vecteur normal à la droite 2Déterminer un point de la droite 3Réciter le cours 4Déterminer a et b 5Déterminer cMéthode 2En exprimant, à l'aide des coordonnées, \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM} = 0 1Réciter le cours 2Calculer les coordonnées de \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{AM} 3Poser et simplifier l'équation Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 24/10/2018 - Conforme au programme 2018-2019
En déterminant un vecteur normal et un point
Afin de déterminer une équation de la tangente à un cercle de centre O en un point A donné, on détermine un vecteur normal de cette tangente.
On considère le cercle C de centre O\left(3;2\right) et de rayon \left[ OA \right] tel que A\left(-1;-2\right).
Déterminer une équation de la tangente en A au cercle C.
Déterminer un vecteur normal à la droite
On rappelle qu'une tangente à un cercle de centre O en un point A est perpendiculaire au rayon \left[ OA \right].
On en déduit que \overrightarrow{OA} est un vecteur normal à la tangente du cercle au point A. On détermine donc les coordonnées de \overrightarrow{OA}.
D'après le cours, on sait qu'une tangente à un cercle de centre O en un point A est perpendiculaire au rayon \left[ OA \right]. On en déduit que \overrightarrow{OA} est un vecteur normal à la tangente au cercle au point A.
Or, on a :
\overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} x_A-x_O \cr\cr y_A-y_O \end{pmatrix} soit \overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} -1-3\cr\cr -2-2 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} -4\cr\cr -4 \end{pmatrix}
Déterminer un point de la droite
On détermine un point de la droite. D'après l'énoncé, le point A appartient à la tangente.
On sait que le point A\left(-1 ; -2\right) appartient à la droite recherchée.
Réciter le cours
On rappelle qu'une droite qui admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} a une équation de la forme ax+by +c= 0.
On sait que, si \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal d'une droite, alors celle-ci a une équation cartésienne de la forme ax+by +c= 0.
Déterminer a et b
On détermine a et b à l'aide des coordonnées du vecteur normal.
Ici, un vecteur normal de la droite est \overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr -4 \end{pmatrix}.
La tangente en A au cercle C admet une équation cartésienne de la forme :
-4x-4y +c= 0
Déterminer c
On détermine enfin c à l'aide des coordonnées du point de la droite.
De plus, A\left(-1;-2\right) appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l'équation précédente de la tangente :
-4\times \left(-1\right)-4 \times \left(-2\right) +c= 0
\Leftrightarrow 4+8 +c= 0
On en déduit que :
c = -12
On en conclut que la tangente à C au point A a pour équation :
-4x-4y -12= 0
Ou encore :
x+y +3= 0
En exprimant, à l'aide des coordonnées, \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM} = 0
Afin de déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C de centre O et de rayon \left[ OA\right], on détermine l'ensemble des points M\left(x;y\right) décrivant la tangente, c'est-à-dire l'ensemble des points M\left(x;y\right) vérifiant \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM}=0.
On considère le cercle C de centre O\left(2;1\right) et de rayon \left[ OA \right] tel que A\left(5;5\right). Déterminer une équation de la tangente en A au cercle C.
Réciter le cours
On rappelle que l'ensemble des points M\left(x;y\right) décrivant la tangente en A au cercle C de centre O est l'ensemble des points M\left(x;y\right) vérifiant \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{AM} = 0.
D'après le cours, un point M\left(x;y\right) appartient à la tangente en A au cercle C de centre O si et seulement si \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{AM} = 0.
Calculer les coordonnées de \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{AM}
On détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{AM}.
On a :
- \overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} x_A-x_O \cr\cr y_A-y_O \end{pmatrix} soit \overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} 5-2\cr\cr 5-1 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} 3\cr\cr 4 \end{pmatrix}
-
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M-x_A \cr\cr y_M-y_A \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-5\cr\cr y-5\end{pmatrix}
Poser et simplifier l'équation
On pose \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM}= 0 et on simplifie afin d'obtenir la forme ax+by+c= 0.
On en déduit que :
\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM} = 0
\Leftrightarrow 3\left(x-5\right) + 4 \left(y-5\right)= 0
On développe et simplifie :
3x-15+ 4y-20= 0
La tangente en A au cercle C admet pour équation :
3x+ 4y-35= 0