Déterminer une équation de la tangente à un cercle en un point donnéMéthode

Méthode 1

En déterminant un vecteur normal et un point

Afin de déterminer une équation de la tangente à un cercle de centre O en un point A donné, on détermine un vecteur normal de cette tangente.

On considère le cercle C de centre O\left(3;2\right) et de rayon \left[ OA \right] tel que A\left(-1;-2\right).

Déterminer une équation de la tangente en A au cercle C.

Etape 1

Déterminer un vecteur normal à la droite

On rappelle qu'une tangente à un cercle de centre O en un point A est perpendiculaire au rayon \left[ OA \right].

On en déduit que \overrightarrow{OA} est un vecteur normal à la tangente du cercle au point A. On détermine donc les coordonnées de \overrightarrow{OA}.

D'après le cours, on sait qu'une tangente à un cercle de centre O en un point A est perpendiculaire au rayon \left[ OA \right]. On en déduit que \overrightarrow{OA} est un vecteur normal à la tangente au cercle au point A.

Or, on a :

\overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} x_A-x_O \cr\cr y_A-y_O \end{pmatrix} soit \overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} -1-3\cr\cr -2-2 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} -4\cr\cr -4 \end{pmatrix}

Etape 2

Déterminer un point de la droite

On détermine un point de la droite. D'après l'énoncé, le point A appartient à la tangente.

On sait que le point A\left(-1 ; -2\right) appartient à la droite recherchée.

Etape 3

Réciter le cours

On rappelle qu'une droite qui admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} a une équation de la forme ax+by +c= 0.

On sait que, si \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal d'une droite, alors celle-ci a une équation cartésienne de la forme ax+by +c= 0.

Etape 4

Déterminer a et b

On détermine a et b à l'aide des coordonnées du vecteur normal.

Ici, un vecteur normal de la droite est \overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr -4 \end{pmatrix}.

La tangente en A au cercle C admet une équation cartésienne de la forme :

-4x-4y +c= 0

Etape 5

Déterminer c

On détermine enfin c à l'aide des coordonnées du point de la droite.

De plus, A\left(-1;-2\right) appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l'équation précédente de la tangente :

-4\times \left(-1\right)-4 \times \left(-2\right) +c= 0

\Leftrightarrow 4+8 +c= 0

On en déduit que :

c = -12

On en conclut que la tangente à C au point A a pour équation :

-4x-4y -12= 0

Ou encore :

x+y +3= 0

Méthode 2

En exprimant, à l'aide des coordonnées, \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM} = 0

Afin de déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C de centre O et de rayon \left[ OA\right], on détermine l'ensemble des points M\left(x;y\right) décrivant la tangente, c'est-à-dire l'ensemble des points M\left(x;y\right) vérifiant \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM}=0.

On considère le cercle C de centre O\left(2;1\right) et de rayon \left[ OA \right] tel que A\left(5;5\right). Déterminer une équation de la tangente en A au cercle C.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que l'ensemble des points M\left(x;y\right) décrivant la tangente en A au cercle C de centre O est l'ensemble des points M\left(x;y\right) vérifiant \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{AM} = 0.

D'après le cours, un point M\left(x;y\right) appartient à la tangente en A au cercle C de centre O si et seulement si \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{AM} = 0.

Etape 2

Calculer les coordonnées de \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{AM}

On détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{AM}.

On a :

  • \overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} x_A-x_O \cr\cr y_A-y_O \end{pmatrix} soit \overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} 5-2\cr\cr 5-1 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} 3\cr\cr 4 \end{pmatrix}
  • \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M-x_A \cr\cr y_M-y_A \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-5\cr\cr y-5\end{pmatrix}

Etape 3

Poser et simplifier l'équation

On pose \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM}= 0 et on simplifie afin d'obtenir la forme ax+by+c= 0.

On en déduit que :

\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM} = 0

\Leftrightarrow 3\left(x-5\right) + 4 \left(y-5\right)= 0

On développe et simplifie :

3x-15+ 4y-20= 0

La tangente en A au cercle C admet pour équation :

3x+ 4y-35= 0