On considère le losange ABCD suivant tel que AB = 6 et AE = 4.
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} ?
Etant donné que ABCD est un losange, ses diagonales se coupent à angle droit en leur milieu, on en déduit que E est le projeté orthogonal du point B sur la droite (AC) et que :
AC = 2AE = 2\times 4 = 8
On décide donc de calculer le produit scalaire \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} en utilisant le projeté orthogonal.
On en déduit que :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}
Or les vecteurs \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AE} sont colinéaires et de même sens, donc :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE} = AC \times AE = 8 \times 4
On obtient donc :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=32
On considère le triangle équilatéral ABC suivant de côté AB = 6.
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
Etant donné que ABC est un triangle équilatéral, ses angles sont égaux à \dfrac{\pi}{3}.
Donc \widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}.
On connaît les longueurs AB et AC et l'angle \widehat{BAC} , on décide donc d'utiliser la formule suivante du cours :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
On en déduit que, ici :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6\times 6\times \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =36\times\dfrac{1}{2}
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=18
On considère la figure suivante telle que OA =OB =OC =OD = 4 et \widehat{COB}= \dfrac{\pi}{6}.
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} ?
On sait que \widehat{BOC} = \dfrac{\pi}{6} et \widehat{BOA} = \pi.
Or \widehat{COA} = \widehat{BOA} - \widehat{BOC}
On en déduit que :
\widehat{COA} = \pi - \dfrac{\pi}{6} =\dfrac{5\pi}{6}
On connaît les longueurs OA et OB et l'angle \widehat{COA} , on décide donc d'utiliser la formule suivante du cours :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
On en déduit que, ici :
\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} = OA\times OC\times \cos \left(\widehat{COA}\right)
\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} = 4\times 4\times \cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right)
\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} = 16\times \left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)
\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}=-8\sqrt3
On considère les points A, B et C représentés ci-dessous.
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
Afin de calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} on doit d'abord déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}
D'après le repère, A\left(2;3\right), B\left(5;1\right) et C\left(2; -2\right).
- \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5-2 \cr\cr 1-3 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}
- \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2-2 \cr\cr -2-3 \end{pmatrix} soit \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 0\cr\cr -5 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
D'après le cours, on sait que le produit scalaire de \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} par \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'.
Ici \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 0 \cr\cr -5 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 3\times 0 -2 \times\left( -5\right) = 0+10 = 10
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=10
On considère les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} représentés ci-dessous.
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ?
Afin de calculer le produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} on doit d'abord déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}
D'après le repère \left( O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right), on remarque que :
- \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
- \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 4\cr\cr 5 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}
D'après le cours, on sait que le produit scalaire de \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} par \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'.
Ici \overrightarrow{u} \begin{pmatrix}4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 4 \cr\cr 5 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 4\times 4 +2 \times5 = 16+10 = 26
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=26
On considère le carré représenté ci-dessous tel que que AB = a.
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA} ?
Le point B peut être considéré comme le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). On en déduit que :
\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BA}
Or les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BA} sont colinéaires et de même sens, donc :
\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BA}= BA^2
On obtient donc :
\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA}=a^2
\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA}=a^2
On considère le rectangle ABCD représenté ci-dessous tel que AB = 8 et BC = 3.
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA} ?
Etant donné que ABCD est un rectangle, on en déduit que B est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), on décide donc de calculer le produit scalaire \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA} en utilisant le projeté orthogonal.
On en déduit que :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}
Or les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BA} sont colinéaires et de sens contraires, donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA} = -AB \times BA = - AB^2
On obtient donc :
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}=-8^2
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}=-64