Soit \left( O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath}\right) un repère orthonormal du plan.
On considère les points :
M\left(-5;0\right), N\left(-3;-2\right) et P\left(-5;-4\right)
Sachant que les vecteurs \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{PN} sont orthogonaux, quelle proposition correspond à une équation cartésienne du cercle \mathscr{C} passant par les 3 points M, N et P ?
Vérification de l'orthogonalité de \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{PN}
On détermine les coordonnées des vecteurs afin de calculer leur produit scalaire :
\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix}-3-\left(-5\right) \cr\cr-2-0 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} 2\cr\cr -2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{PN}\begin{pmatrix} -3-\left(-5\right) \cr\cr -2-\left(-4\right) \end{pmatrix} donc \overrightarrow{PN}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 2\end{pmatrix}
Il vient que :
\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{PN}= 2 \times 2 -2 \times 2 = 4-4 = 0
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{PN} sont orthogonaux.
Par conséquent, le triangle MPN est rectangle en M.
Cela implique que le cercle circonscrit au triangle MPN est le cercle de diamètre \left[ MP\right].
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{MA} et \overrightarrow{PA} où A est un point quelconque du plan
Soit A\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que A \in \mathscr{C} si et seulement si :
\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{PA} = 0
On détermine donc \overrightarrow{MA} et \overrightarrow{PA} :
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix} x_A - x_M \cr\cr y_A - y_M \end{pmatrix} et \overrightarrow{PA} \begin{pmatrix} x_A - x_P \cr\cr y_A - y_P \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{MA} \begin{pmatrix} x+5\cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{PA} \begin{pmatrix} x +5\cr\cr y+4\end{pmatrix}
Obtention d'une équation du cercle circonscrit au triangle MNP
A \in \mathscr{C} si et seulement si :
\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{PA} = 0
Or :
\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{PA} =\left(x+5\right)\times \left(x+5\right)+y\times\left(y+4\right)
\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{PA} =\left(x+5\right)^2+y^2+4y
On obtient donc :
A \in \mathscr{C} si et seulement si :
\left(x+5\right)^2+y^2+4y=0
Une équation du cercle \mathscr{C} est donc :
x^2+10x+y^2+4y+25=0
Obtention d'une équation du cercle circonscrit au triangle MNP sous la forme souhaitée
Mettons sous forme canonique l'expression y^2+4y.
Pour tout réel y :
y^2+4y=\left(y+2\right)^2-4
De plus, on remarque que pour tout réel x :
\left(x+5\right)^2=x^2+10x+25
Une équation du cercle \mathscr{C} est donc :
\left(x+5\right)^2+\left(y+2\right)^2-4=0, soit
\left(x+5\right)^2+\left(y+2\right)^2=4
Une équation cartésienne du cercle \mathscr{C} est \left(x+5\right)^2+\left(y+2\right)^2=4.
Soit \left( O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath}\right) un repère orthonormal du plan.
On considère les points :
M\left(-5;2\right), N\left(-3;-1\right) et P\left(1;6\right)
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle \mathscr{C} passant par les 3 points M, N et P ?
Soit \left( O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath}\right) un repère orthonormal du plan.
On considère les points :
A\left(4;-3\right), B\left(2;3\right) et C\left(5;4\right)
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle \mathscr{C} passant par les 3 points A, B et C ?
Soit \left( O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath}\right) un repère orthonormal du plan.
On considère les points :
A\left(1;-3\right), B\left(4;0\right) et C\left(1;0\right)
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle \mathscr{C} passant par les 3 points A, B et C ?
Soit \left( O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath}\right) un repère orthonormal du plan.
On considère les points :
A\left(0;3\right) et B\left(5;0\right)
Sachant que les vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB} sont orthogonaux, quelle proposition correspond à une équation cartésienne du cercle \mathscr{C} passant par les 3 points O, A et B ?
Vérification de l'orthogonalité de \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB}
On détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB} pour calculer leur produit scalaire :
\overrightarrow{OA}\left(0;3\right) et \overrightarrow{OB}\left(5;0\right)
Donc :
\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0\times 5+3\times 0=0
Donc :
\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0
Les vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB} sont donc orthogonaux.
Par conséquent, le triangle OAB est rectangle en O.
Cela implique que le cercle circonscrit au triangle OAB est le cercle de diamètre \left[ AB\right].
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM} où M est un point quelconque du plan
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in \mathscr{C} si et seulement si :
\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} = 0
On détermine donc \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM} :
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \cr\cr y_M - y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x\cr\cr y-3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x -5\cr\cr y\end{pmatrix}
Obtention d'une équation du cercle circonscrit au triangle OAB
M \in \mathscr{C} si et seulement si :
\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} = 0
Or :
\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} =x\times \left(x-5\right)+y\times\left(y-3\right)
\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} =x^2-5x+y^2-3y
On obtient donc :
M \in \mathscr{C} si et seulement si :
x^2-5x+y^2-3y=0
Une équation du cercle \mathscr{C} est donc :
x^2-5x+y^2-3y=0
Obtention d'une équation du cercle circonscrit au triangle OAB sous la forme souhaitée
Mettons sous forme canonique les expressions x^2-5x et y^2-3y.
Pour tout réel x :
x^2-5x=\left(x-\cfrac{5}{2}\right)^2-\cfrac{25}{4}
Pour tout réel y :
y^2-3y=\left(y-\cfrac{3}{2}\right)^2-\cfrac{9}{4}
Une équation du cercle \mathscr{C} est donc :
\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}=0, soit
\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{34}{4}=\cfrac{17}{2}
Une équation cartésienne du cercle \mathscr{C} est \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\cfrac{17}{2}.
Soit \left( O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath}\right) un repère orthonormal du plan.
On considère les points :
A\left(3;2\right), B\left(-3;-1\right) et C\left(4;0\right)
Sachant que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux, quelle proposition correspond à une équation cartésienne du cercle \mathscr{C} passant par les 3 points A, B et C ?
Vérification de l'orthogonalité de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
On détermine les coordonnées des vecteurs afin calculer leur produit scalaire :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3-3 \cr\cr -1-2 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr -3 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4-3 \cr\cr 0-2 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix}
Il vient que :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= -6 \times 1 -3 \times \left(-2\right) = -6+6 = 0
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A.
Cela implique que le cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle de diamètre \left[ BC\right].
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{BM} et \overrightarrow{CM} où M est un point quelconque du plan
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in \mathscr{C} si et seulement si :
\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CM} = 0
On détermine donc \overrightarrow{BM} et \overrightarrow{CM} :
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix} et \overrightarrow{CM} \begin{pmatrix} x_M - x_C \cr\cr y_M - y_C \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x + 3\cr\cr y +1\end{pmatrix} et \overrightarrow{CM} \begin{pmatrix} x-4\cr\cr y \end{pmatrix}
Obtention d'une équation du cercle circonscrit au triangle ABC
M \in \mathscr{C} si et seulement si :
\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CM} = 0
Or :
\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CM} =\left(x+3\right)\times \left(x-4\right)+\left(y+1\right)\times y
\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CM} =x^2-4x+3x-12+y^2+y
\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CM} =x^2-x+y^2+y-12
On obtient donc :
M \in \mathscr{C} si et seulement si :
x^2-x+y^2+y-12=0
Une équation du cercle \mathscr{C} est donc :
x^2-x+y^2+y-12=0
Obtention d'une équation du cercle circonscrit au triangle ABC sous la forme souhaitée
Mettons sous forme canonique les expressions x^2-x et y^2+y.
Pour tout réel x :
x^2-x=x^2-2\times x\times \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2
x^2-x=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}
Pour tout réel y :
y^2+y=y^2+2\times y\times \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2
y^2+y=\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}
Une équation du cercle \mathscr{C} est donc :
\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}-12=0, soit
\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{2}
Une équation cartésienne du cercle \mathscr{C} est \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{2}.