Seconde 2015-2016

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Montrer que deux vecteurs sont colinéaires

Méthode 1

Avec les coordonnées

On peut montrer que deux vecteurs sont colinéaires en utilisant leurs coordonnées. La colinéarité de deux vecteurs permet de démontrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.

Soit un repère \(\displaystyle{\left(O;I,J\right)}\). On considère les points \(\displaystyle{A\left(1;2\right)}\) ; \(\displaystyle{B\left(3;-1\right)}\) et \(\displaystyle{C\left(-3;8\right)}\). Montrer que \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont colinéaires.

Etape 1

Calculer les coordonnées de chaque vecteur

On calcule les coordonnées des deux vecteurs.

On détermine les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}}\), d'où \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-1 \cr\cr -1-2 \end{pmatrix}}\), donc \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -3 \end{pmatrix}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \end{pmatrix}}\), d'où \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3-1 \cr\cr 8-2 \end{pmatrix}}\), donc \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 6 \end{pmatrix}}\)
Etape 2

Appliquer la formule

On rappelle que deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si et seulement si \(\displaystyle{xy'-x'y =0}\).

On détermine si cette égalité est vérifiée.

Deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si et seulement si \(\displaystyle{xy'-x'y =0}\).

Ici, on a :

\(\displaystyle{2\times 6 - \left(-4\right)\times \left(-3\right) = 12-12 = 0}\)

Etape 3

Conclure

On conclut sur la colinéarité des deux vecteurs.

On en déduit que les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont colinéaires.

Méthode 2

Avec une égalité vectorielle

On peut montrer que deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires en démontrant que \(\displaystyle{\overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}}\).

Soit un triangle \(\displaystyle{ABC}\) et deux points D et E tels que \(\displaystyle{\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{DE}= 3\overrightarrow{BC}}\).

Montrer que \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AE}}\) sont colinéaires.

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle que deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \(\displaystyle{\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}}\).

Afin de montrer que \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AE}}\) sont colinéaires, on doit montrer qu'il existe un réel k tel que \(\displaystyle{\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AC}}\).

Etape 2

Exprimer \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) en fonction de \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\)

On utilise les informations de l'énoncé afin d'obtenir une égalité de type \(\displaystyle{\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}}\).

Il est souvent nécessaire d'utiliser la relation de Chasles.

D'après la relation de Chasles :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD } + \overrightarrow{DE}}\)

Or, d'après l'énoncé :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{DE} = 3 \overrightarrow{BC}}\)

Donc :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB } +3 \overrightarrow{BC}}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{AE} = 3\left(\overrightarrow{AB }+ \overrightarrow{BC}\right)}\)

Et, encore d'après la relation de Chasles :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AC}}\)

Etape 3

Conclure

On conclut sur la colinéarité des deux vecteurs.

Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AE}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont donc colinéaires.

Chapitre 8 Les vecteurs
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