Première S 2016-2017

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Le produit scalaire

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormal \(\displaystyle{\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)}\).

I

Le produit scalaire de deux vecteurs

A

Définition

Produit scalaire

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) deux vecteurs non nuls. On appelle produit scalaire des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\), noté \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}\), le réel :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)}\)

Soient les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) tels que \(\displaystyle{\|\overrightarrow{u}\| = 2}\), \(\displaystyle{\|\overrightarrow{v}\| = 3}\) et \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) = \dfrac{\pi }{3}}\).

On a :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 3 \times \cos\left( \dfrac{\pi }{3} \right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 3 \times \dfrac12}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3}\)

Si A, B et C sont trois points distincts, alors :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)}\)

Soit ABC un triangle tel que \(\displaystyle{AB = 2}\), \(\displaystyle{AC=3}\) et \(\displaystyle{\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}}\).

On a :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 3 \times \cos\left( \dfrac{\pi }{3} \right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 3 \times \dfrac12}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3}\)

Le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} }\) a le même signe que \(\displaystyle{\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)}\).

Si au moins l'un des vecteurs est nul, alors on pose :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0}\)

On a, pour tout vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^{2}}\)

Soient deux points A et B tels que \(\displaystyle{AB=12}\). On a :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2=AB^2=12^2=144}\)

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{w}}\) trois vecteurs quelconques du plan. Soit k un réel. On a alors :

Commutativité :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}}\)

Distributivité :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}\right) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}}\)

Multiplication par un réel k :

\(\displaystyle{k\left(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right)=\left(k \overrightarrow{u}\right) \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot \left(k\overrightarrow{v}\right)}\)

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

-

Le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}\) de deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) colinéaires est égal à :

  • \(\displaystyle{AB\times AC}\) si \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont de même sens.
  • \(\displaystyle{-AB\times AC}\) si \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont de sens contraire.
-
B

L'expression avec le projeté orthogonal

Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal de C sur (AB).

Si \(\displaystyle{H \in \left[AB\right)}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH}\)

-
-

ABCD et FEAG sont des rectangles avec \(\displaystyle{E\in\left[AB\right]}\), \(\displaystyle{CD = 5}\), \(\displaystyle{AD = 3}\), \(\displaystyle{FG = 2}\) et \(\displaystyle{AG = 5}\). On cherche à calculer \(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}}\).

D est le projeté orthogonal de C sur \(\displaystyle{\left(AD\right)}\).

Donc :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=AD\times AD=3\times3=9}\)

Si \(\displaystyle{H \notin \left[AB\right)}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AH}\)

-
-

ABCD et FEAG sont des rectangles avec \(\displaystyle{E\in\left[AB\right]}\), \(\displaystyle{CD = 5}\), \(\displaystyle{AD = 3}\), \(\displaystyle{FG = 2}\) et \(\displaystyle{AG = 5}\). On cherche à calculer \(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}}\).

G est le projeté orthogonal de F sur (AD) et \(\displaystyle{G\notin\left[AD \right)}\).

Donc :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AF}=-AD\times AG=-3\times5=-15}\)

C

L'expression analytique

Expression analytique

Le produit scalaire des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix}}\) est égal à :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'}\)

On considère les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\binom{5}{-1}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\binom{7}{-8}}\).

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\times7+\left(-1\right)\times\left(-8\right)=35+8=43}\)

D

L'expression avec les normes

Expressions du produit scalaire avec les normes

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) deux vecteurs. Les deux expressions suivantes permettent de calculer le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2} + \|\overrightarrow{v}\|^{2} -\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\|^{2}\right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|^{2} - \|\overrightarrow{u}\|^{2} - \|\overrightarrow{v}\|^{2}\right)}\)

On cherche à calculer \(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}}\) à l'aide de la figure suivante :

-

ABCD est un parallélogramme.

\(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac12\times\left( AD^2+AB^2-\left\| \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right\|^2 \right)}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac12\times\left( 8^2+4^2-\left\| \overrightarrow{BD} \right\| ^2\right)=\dfrac12\times\left( 80-7^2 \right)=\dfrac{31}{2}}\)

On cherche à calculer \(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}}\) à l'aide de la figure suivante :

-

ABCD est un parallélogramme.

\(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} = \dfrac12\times\left( \left\| \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB} \right\|^2 -AD^2-AB^2\right)}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} =\dfrac12\times\left( \left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^2-8^2-4^2\right)=\dfrac12\times\left( 11^2-64-16 \right)=\dfrac{41}{2}}\)

II

Vecteurs orthogonaux

A

La caractérisation analytique

Vecteurs orthogonaux

Dans un repère orthonormal, deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix}}\) sont orthogonaux si et seulement si :

\(\displaystyle{xx' + yy' = 0}\)

On cherche à déterminer l'orthogonalité des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\binom{4}{-3}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\binom{12}{16}}\).

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times12+\left(-3\right)\times\left(16\right)=48-48=0}\)

Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont donc orthogonaux.

B

Vecteur normal à une droite

Vecteur normal

Soient une droite D et un vecteur non nul \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) du plan.
Le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) est normal à la droite D si et seulement s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D.

-

Vecteur normal

Soit une droite D d'équation cartésienne \(\displaystyle{ax + by + c = 0}\). Un vecteur normal à D est le vecteur :

\(\displaystyle{\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a \cr b \end{pmatrix}}\)

Une droite dont une équation cartésienne est \(\displaystyle{5x-2y+7=0}\) a pour vecteur normal \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\binom{5}{-2}}\).

Il suffit de connaître un point et un vecteur normal d'une droite pour la définir.

Déterminons une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point \(\displaystyle{A\left(2;1\right)}\) et dont un vecteur normal est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\binom{-1}{4}}\).

Comme \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\binom{-1}{4}}\) est normal à (d), (d) a une équation de la forme :

\(\displaystyle{-x+4y+c=0}\)

Or \(\displaystyle{A\in \left(d\right)}\), donc ses coordonnées vérifient l'équation de (d). On obtient :

\(\displaystyle{-x_A+4y_A+c=0}\)

D'où :

\(\displaystyle{-2+4\times1+c=0}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{c=-2}\)

Une équation de (d) est donc :

\(\displaystyle{-x+4y-2=0}\)

C

Équation de cercles

Equation de cercle

Le cercle de centre K de rayon \(\displaystyle{R}\) admet pour équation :

\(\displaystyle{\left(x - x_{K}\right)^{2} + \left(y - y_{K}\right)^{2} = R^{2}}\)

Le cercle de centre \(\displaystyle{K\left(-2;5\right)}\) et de rayon 3 a pour équation :

\(\displaystyle{\left(x+2\right)^2+\left(y-5\right)^2=9}\)

Soit \(\displaystyle{K\left(x_K;y_K\right)}\) un point du plan.

Un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient au cercle de centre K et de rayon \(\displaystyle{R}\) si et seulement si \(\displaystyle{KM=R}\).

Comme KM et \(\displaystyle{R}\) sont des distances, et donc sont positives :

\(\displaystyle{KM=R\Leftrightarrow KM^2=R^2}\)

Or :

\(\displaystyle{KM^2=\left(x-x_K\right)^2+\left(y-y_K\right)^2}\)

Donc un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient au cercle de centre K et de rayon \(\displaystyle{R}\) si et seulement si :

\(\displaystyle{\left(x-x_K\right)^2+\left(y-y_K\right)^2=R^2}\).

Caractérisation d'un cercle

Soient A et B deux points distincts. Le point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si :

\(\displaystyle{\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0}\)

-
III

Applications

A

Théorème de la médiane

Théorème de la médiane

Soient A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan, on a :

\(\displaystyle{MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}}\)

-
-

On cherche à calculer BI.

D'après le théorème de la médiane on a :

\(\displaystyle{BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac{AC^2}{2}}\).

Donc :

\(\displaystyle{BI^2=\dfrac12\times\left( BA^2+BC^2-\dfrac{AC^2}{2} \right)}\)

On calcule :

\(\displaystyle{BI^2=\dfrac12\times\left( 5^2+6^2-\dfrac{10^2}{2} \right)=\dfrac{11}{2}}\)

Soit, comme une longueur est toujours positive :

\(\displaystyle{BI=\sqrt{\dfrac{11}{2}}=\dfrac{\sqrt{22}}{2}}\)

B

Théorème d'Al-Kashi

Théorème d'Al-Kashi

Dans tout triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous :

\(\displaystyle{a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}}\)

\(\displaystyle{b^2=c^2+a^2-2ca\cos\widehat{B}}\)

\(\displaystyle{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{C}}\)

-
-

On cherche à calculer BC. D'après le théorème d'al-Kashi, on a :

\(\displaystyle{a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}}\)

Soit :

\(\displaystyle{a^2=5^2+3^2-2\times5\times3\times\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=25+9-30\times\dfrac{1}{2}=34-15=19}\)

D'où :

\(\displaystyle{a=\sqrt{19}}\)

C

Formule des aires

Soit ABC un triangle non aplati d'aire \(\displaystyle{\Gamma}\). On a alors, avec les mêmes notations que pour le théorème d'Al-Kashi :

\(\displaystyle{\Gamma=\dfrac{1}{2}bcsin\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{1}{2}acsin\left(\widehat{B}\right)=\dfrac{1}{2}absin\left(\widehat{C}\right)}\)

On considère le triangle suivant :

-

L'aire du triangle ABC est :

\(\displaystyle{\Gamma=\dfrac{1}{2}bcsin\left(\widehat{A}\right)}\)

\(\displaystyle{\Gamma=\dfrac{1}{2}\times5\times3\times \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{\Gamma=\dfrac{1}{2}\times5\times3\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{\Gamma=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}}\) u.a.

D

Formule des sinus

Soit ABC un triangle non aplati. On a alors, avec les mêmes notations que pour le théorème d'Al-Kashi :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{\sin\left(\widehat{A}\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\widehat{B}\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\widehat{C}\right)}}\)

On considère le triangle suivant, dans lequel on cherche à déterminer la valeur de a :

-

D'après la formule des sinus, on a :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{\sin\left(\widehat{A}\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\widehat{B}\right)}}\)

Soit :

\(\displaystyle{a=\dfrac{b\times \sin\left(\widehat{A}\right)}{\sin\left(\widehat{B}\right)}}\)

\(\displaystyle{a=\dfrac{5\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}}\)

\(\displaystyle{a=\dfrac{5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}\)

\(\displaystyle{a=5\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{a=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}}\)

Chapitre 9 Le produit scalaire
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