Première S 2016-2017
Kartable
Première S 2016-2017

Déterminer une équation de la tangente à un cercle en un point donné

Méthode 1

En déterminant un vecteur normal et un point

Afin de déterminer une équation de la tangente à un cercle de centre O en un point A donné, on détermine un vecteur normal de cette tangente.

On considère le cercle C de centre O(3;2) et de rayon [OA] tel que A(1;2).

Déterminer une équation de la tangente en A au cercle C.

Etape 1

Déterminer un vecteur normal à la droite

On rappelle qu'une tangente à un cercle de centre O en un point A est perpendiculaire au rayon [OA].

On en déduit que OA est un vecteur normal à la tangente du cercle au point A. On détermine donc les coordonnées de OA.

D'après le cours, on sait qu'une tangente à un cercle de centre O en un point A est perpendiculaire au rayon [OA]. On en déduit que OA est un vecteur normal à la tangente au cercle au point A.

Or, on a :

OAxAxOyAyO soit OA1322 donc OA44

Etape 2

Déterminer un point de la droite

On détermine un point de la droite. D'après l'énoncé, le point A appartient à la tangente.

On sait que le point A(1;2) appartient à la droite recherchée.

Etape 3

Réciter le cours

On rappelle qu'une droite qui admet pour vecteur normal nab a une équation de la forme ax+by+c=0.

On sait que, si nab est un vecteur normal d'une droite, alors celle-ci a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.

Etape 4

Déterminer a et b

On détermine a et b à l'aide des coordonnées du vecteur normal.

Ici, un vecteur normal de la droite est OA44.

La tangente en A au cercle C admet une équation cartésienne de la forme :

4x4y+c=0

Etape 5

Déterminer c

On détermine enfin c à l'aide des coordonnées du point de la droite.

De plus, A(1;2) appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l'équation précédente de la tangente :

4×(1)4×(2)+c=0

4+8+c=0

On en déduit que :

c=12

On en conclut que la tangente à C au point A a pour équation :

4x4y12=0

Ou encore :

x+y+3=0

Méthode 2

En exprimant, à l'aide des coordonnées, OA.AM=0

Afin de déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C de centre O et de rayon [OA], on détermine l'ensemble des points M(x;y) décrivant la tangente, c'est-à-dire l'ensemble des points M(x;y) vérifiant OA.AM=0.

On considère le cercle C de centre O(2;1) et de rayon [OA] tel que A(5;5). Déterminer une équation de la tangente en A au cercle C.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que l'ensemble des points M(x;y) décrivant la tangente en A au cercle C de centre O est l'ensemble des points M(x;y) vérifiant OA.AM=0.

D'après le cours, un point M(x;y) appartient à la tangente en A au cercle C de centre O si et seulement si OA.AM=0.

Etape 2

Calculer les coordonnées de OA et AM

On détermine les coordonnées des vecteurs OA et AM.

On a :

  • OAxAxOyAyO soit OA5251 donc OA34
  • AMxMxAyMyA donc AMx5y5

Etape 3

Poser et simplifier l'équation

On pose OA.AM=0 et on simplifie afin d'obtenir la forme ax+by+c=0.

On en déduit que :

OA.AM=0

3(x5)+4(y5)=0

On développe et simplifie :

3x15+4y20=0

La tangente en A au cercle C admet pour équation :

3x+4y35=0

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