Première S 2015-2016

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Déterminer une équation de la tangente à un cercle en un point donné

Méthode 1

En déterminant un vecteur normal et un point

Afin de déterminer une équation de la tangente à un cercle de centre O en un point A donné, on détermine un vecteur normal de cette tangente.

On considère le cercle C de centre \(\displaystyle{O\left(3;2\right)}\) et de rayon \(\displaystyle{\left[ OA \right]}\) tel que \(\displaystyle{A\left(-1;-2\right)}\).

Déterminer une équation de la tangente en A au cercle C.

Etape 1

Déterminer un vecteur normal à la droite

On rappelle qu'une tangente à un cercle de centre O en un point A est perpendiculaire au rayon \(\displaystyle{\left[ OA \right]}\).

On en déduit que \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}}\) est un vecteur normal à la tangente du cercle au point A. On détermine donc les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}}\).

D'après le cours, on sait qu'une tangente à un cercle de centre O en un point A est perpendiculaire au rayon \(\displaystyle{\left[ OA \right]}\). On en déduit que \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}}\) est un vecteur normal à la tangente au cercle au point A.

Or, on a :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} x_A-x_O \cr\cr y_A-y_O \end{pmatrix}}\) soit \(\displaystyle{\overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} -1-3\cr\cr -2-2 \end{pmatrix}}\) donc \(\displaystyle{\overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} -4\cr\cr -4 \end{pmatrix}}\)

Etape 2

Déterminer un point de la droite

On détermine un point de la droite. D'après l'énoncé, le point A appartient à la tangente.

On sait que le point \(\displaystyle{A\left(-1 ; -2\right)}\) appartient à la droite recherchée.

Etape 3

Réciter le cours

On rappelle qu'une droite qui admet pour vecteur normal \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) a une équation de la forme \(\displaystyle{ax+by +c= 0}\).

On sait que, si \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) est un vecteur normal d'une droite, alors celle-ci a une équation cartésienne de la forme \(\displaystyle{ax+by +c= 0}\).

Etape 4

Déterminer a et b

On détermine a et b à l'aide des coordonnées du vecteur normal.

Ici, un vecteur normal de la droite est \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr -4 \end{pmatrix}}\).

La tangente en A au cercle C admet une équation cartésienne de la forme :

\(\displaystyle{-4x-4y +c= 0}\)

Etape 5

Déterminer c

On détermine enfin c à l'aide des coordonnées du point de la droite.

De plus, \(\displaystyle{A\left(-1;-2\right)}\) appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l'équation précédente de la tangente :

\(\displaystyle{-4\times \left(-1\right)-4 \times \left(-2\right) +c= 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 4+8 +c= 0}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{c = -12}\)

On en conclut que la tangente à C au point A a pour équation :

\(\displaystyle{-4x-4y -12= 0}\)

Ou encore :

\(\displaystyle{x+y +3= 0}\)

Méthode 2

En exprimant, à l'aide des coordonnées, \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM} = 0}\)

Afin de déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C de centre O et de rayon \(\displaystyle{\left[ OA\right]}\), on détermine l'ensemble des points \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) décrivant la tangente, c'est-à-dire l'ensemble des points \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) vérifiant \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM}=0}\).

On considère le cercle C de centre \(\displaystyle{O\left(2;1\right)}\) et de rayon \(\displaystyle{\left[ OA \right]}\) tel que \(\displaystyle{A\left(5;5\right)}\). Déterminer une équation de la tangente en A au cercle C.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que l'ensemble des points \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) décrivant la tangente en A au cercle C de centre O est l'ensemble des points \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) vérifiant \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}. \overrightarrow{AM} = 0}\).

D'après le cours, un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à la tangente en A au cercle C de centre O si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}. \overrightarrow{AM} = 0}\).

Etape 2

Calculer les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\)

On détermine les coordonnées des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\).

On a :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} x_A-x_O \cr\cr y_A-y_O \end{pmatrix}}\) soit \(\displaystyle{\overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} 5-2\cr\cr 5-1 \end{pmatrix}}\) donc \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} 3\cr\cr 4 \end{pmatrix}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M-x_A \cr\cr y_M-y_A \end{pmatrix}}\) donc \(\displaystyle{\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-5\cr\cr y-5\end{pmatrix}}\)

Etape 3

Poser et simplifier l'équation

On pose \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM}= 0}\) et on simplifie afin d'obtenir la forme \(\displaystyle{ax+by+c= 0}\).

On en déduit que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AM} = 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 3\left(x-5\right) + 4 \left(y-5\right)= 0}\)

On développe et simplifie :

\(\displaystyle{3x-15+ 4y-20= 0}\)

La tangente en A au cercle C admet pour équation :

\(\displaystyle{3x+ 4y-35= 0}\)

Chapitre 9 Le produit scalaire
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