On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; x-3y +8 = 0
\left(d'\right) \; : \; -2x+6y -3 = 0
Parmi les propositions suivantes, laquelle démontre que les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles ?
D'après le cours, on sait que si un vecteur normal à \left( d \right) et un vecteur normal à \left( d^{'} \right) sont colinéaires, alors les deux droites sont parallèles.
Détermination de vecteurs normaux \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} à \left(d\right) et \left(d'\right)
D'après le cours, on sait que :
Une droite d'équation cartésienne ax+by +c = 0 admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}.
Or ici, \left(d\right) a pour équation x-3y +8 = 0, un vecteur normal à \left(d\right) est donc \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -3 \end{pmatrix}.
De même \left(d'\right) a pour équation : -2x+6y -3 = 0, un vecteur normal à \left(d'\right) est donc \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 6 \end{pmatrix}.
Étude de la colinéarité de \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'}
D'après le cours, on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}.
Ici, en calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{n'} sur celles de \overrightarrow{n} on remarque que :
\dfrac{-2}{1} = \dfrac{6}{-3} = -2
Donc :
\overrightarrow{n'} = -2 \overrightarrow{n}
Les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} sont donc colinéaires.
Les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; 2x+y +1 = 0
\left(d'\right) \; : \; 6x+3y -5 = 0
Parmi les propositions suivantes, laquelle démontre que les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles ?
D'après le cours, on sait que si un vecteur normal à \left( d \right) et un vecteur normal à \left( d^{'} \right) sont colinéaires, alors les deux droites sont parallèles.
Détermination de vecteurs normaux \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} à \left(d\right) et \left(d'\right)
D'après le cours, on sait que :
Une droite d'équation cartésienne ax+by +c = 0 admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}.
Or ici, \left(d\right) a pour équation 2x+y+1=0, un vecteur normal à \left(d\right) est donc \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
De même \left(d'\right) a pour équation : 6x+3y+5=0, un vecteur normal à \left(d'\right) est donc \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
Etude de la colinéarité de \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'}
D'après le cours, on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}.
Ici, en calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{n'} sur celles de \overrightarrow{n} on remarque que :
\dfrac{6}{2} = \dfrac{3}{1} = 3
Donc :
\overrightarrow{n'} = 3\overrightarrow{n}
Les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} sont donc colinéaires.
Les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; x-4y +11 = 0
\left(d'\right) \; : \; -3x+12y -6 = 0
Parmi les propositions suivantes, laquelle démontre que les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles ?
D'après le cours, on sait que si un vecteur normal à \left( d \right) et un vecteur normal à \left( d^{'} \right) sont colinéaires, alors les deux droites sont parallèles.
Détermination de vecteurs normaux \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} à \left(d\right) et \left(d'\right)
D'après le cours, on sait que :
Une droite d'équation cartésienne ax+by +c = 0 admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}.
Or ici, \left(d\right) a pour équation x-4y +11 = 0, un vecteur normal à \left(d\right) est donc \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -4 \end{pmatrix}.
De même \left(d'\right) a pour équation : -3x+12y -6 = 0, un vecteur normal à \left(d'\right) est donc \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 12 \end{pmatrix}.
Étude de la colinéarité de \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'}
D'après le cours, on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}.
Ici, en calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{n'} sur celles de \overrightarrow{n} on remarque que :
\dfrac{-3}{1} = \dfrac{12}{-4} = -3
Donc :
\overrightarrow{n'} = -3\overrightarrow{n}
Les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} sont donc colinéaires.
Les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; \dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}y -7= 0
\left(d'\right) \; : \; -2x+6y -4= 0
Parmi les propositions suivantes, laquelle démontre que les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles ?
D'après le cours, on sait que si un vecteur normal à \left( d \right) et un vecteur normal à \left( d^{'} \right) sont colinéaires, alors les deux droites sont parallèles.
Détermination de vecteurs normaux \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} à \left(d\right) et \left(d'\right)
D'après le cours, on sait qu'une droite d'équation cartésienne ax+by +c = 0 admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}.
Or ici, \left(d\right) a pour équation \dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}y -7= 0, un vecteur normal à \left(d\right) est donc \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr -\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}.
De même, \left(d'\right) a pour équation : -2x+6y -4= 0, un vecteur normal à \left(d'\right) est donc \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 6 \end{pmatrix}.
Étude de la colinéarité de \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'}
D'après le cours, on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réél k tel que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}.
Ici, en calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{n'} sur celles de \overrightarrow{n} on remarque que :
\dfrac{-2}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{6}{-\dfrac{3}{2}} = -4
Donc :
\overrightarrow{n'} = -4\overrightarrow{n}
Les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} sont donc colinéaires.
Les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; 4x+5y -2= 0
\left(d'\right) \; : \; -5x+4y +2= 0
Parmi les propositions suivantes, laquelle démontre que les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires ?
D'après le cours, on sait que si un vecteur normal à \left( d \right) et un vecteur normal à \left( d^{'} \right) sont orthogonaux, alors les deux droites sont perpendiculaires.
Détermination de vecteurs normaux \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} à \left(d\right) et \left(d'\right)
D'après le cours, on sait qu'une droite d'équation cartésienne ax+by +c = 0 admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}.
Or ici, \left(d\right) a pour équation 4x+5y -2= 0, un vecteur normal à \left(d\right) est donc \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 5 \end{pmatrix}.
De même, \left(d'\right) a pour équation : -5x+4y +2= 0, un vecteur normal à \left(d'\right) est donc \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} -5 \cr\cr 4 \end{pmatrix}.
Étude de l'orthogonalité de \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'}
D'après le cours, on sait que :
Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
On cherche donc à calculer le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}.
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Ici, on a :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 5 \end{pmatrix} et \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} -5 \cr\cr 4 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'} =4\times \left(-5\right) +5 \times 4 = -20+20 = 0
Les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} sont donc orthogonaux.
Les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; -6x+8y -1= 0
\left(d'\right) \; : \; 4x+3y +2= 0
Parmi les propositions suivantes, laquelle démontre que les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires ?
D'après le cours, on sait que si un vecteur normal à \left( d \right) et un vecteur normal à \left( d^{'} \right) sont orthogonaux, alors les deux droites sont perpendiculaires.
Détermination de vecteurs normaux \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} à \left(d\right) et \left(d'\right)
D'après le cours, on sait qu'une droite d'équation cartésienne ax+by +c = 0 admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}.
Or ici, \left(d\right) a pour équation -6x+8y -1= 0, un vecteur normal à \left(d\right) est donc \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 8 \end{pmatrix}.
De même, \left(d'\right) a pour équation : 4x+3y+2= 0, un vecteur normal à \left(d'\right) est donc \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr3 \end{pmatrix}.
Étude de l'orthogonalité de \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'}
D'après le cours, on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
On cherche donc à calculer le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}.
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Ici, on a :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 8 \end{pmatrix} et \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} 4\cr\cr 3\end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'} =-6\times 4 +8\times 3= -24+24 = 0
Les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} sont donc orthogonaux.
Les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.
On considère les droites \left(d\right) et \left(d'\right) suivantes :
\left(d\right) \; : \; -2x+3y -5= 0
\left(d'\right) \; : \; 18x+12y +4= 0
Parmi les propositions suivantes, laquelle démontre que les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires ?
D'après le cours, on sait que si un vecteur normal à \left( d \right) et un vecteur normal à \left( d^{'} \right) sont orthogonaux, alors les deux droites sont perpendiculaires.
Détermination de vecteurs normaux \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} à \left(d\right) et \left(d'\right)
D'après le cours, on sait qu'une droite d'équation cartésienne ax+by +c = 0 admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}.
Or ici, \left(d\right) a pour équation -2x+3y -5= 0, un vecteur normal à \left(d\right) est donc \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
De même, \left(d'\right) a pour équation : 18x+12y+4= 0, un vecteur normal à \left(d'\right) est donc \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} 18 \cr\cr12 \end{pmatrix}.
Étude de l'orthogonalité de \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'}
D'après le cours, on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
On cherche donc à calculer le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}.
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Ici, on a :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{n'}\begin{pmatrix} 18\cr\cr 12\end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'} =-2\times 18 +3\times 12= -36+36 = 0
Les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{n'} sont donc orthogonaux.
Les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.