Soient deux points A et B du plan tels que AB = 4 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2 + MB^2 = 20 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=4 :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-4
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=20 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=6.
Comme MI est une longueur, elle est forcément positive et donc :
MI^2=6\Leftrightarrow MI=\sqrt{6}
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=20 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=\sqrt{6}.
\Gamma est le cercle de centre I milieu de \left[ AB \right] et de rayon \sqrt{6}.
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 2 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2 + MB^2 = 12 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=2 :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-1
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=12 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=5.
Comme MI est une longueur, elle est forcément positive et donc :
MI^2=5\Leftrightarrow MI=\sqrt{5}
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=12 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=\sqrt{5}.
\Gamma est le cercle de centre I milieu de \left[ AB \right] et de rayon \sqrt{5}.
Soient A\left(9;-5\right) et B\left(2;2\right).
Quel est l'ensemble des points M\left(x;y\right) du plan vérifiant l'égalité suivante ?
\overrightarrow{BM}. \overrightarrow{AB} = -12
Calcul des coordonnées
On a A\left(9;-5\right) et B\left(2;2\right). Soit M\left(x;y\right) un point du plan. On obtient :
\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x-2\cr\cr y-2 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2-9\cr\cr 2-\left(-5\right) \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -7 \cr\cr 7 \end{pmatrix}.
Résolution de l'équation
\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AB} = -12
\Leftrightarrow -7\left(x-2\right) +7\left(y-2\right) = -12
\Leftrightarrow -7x+14 +7y-14 = -12
\Leftrightarrow -7x +7y+12 = 0
Le point M\left(x;y\right) vérifie donc \overrightarrow{BM}. \overrightarrow{AB} = 0 si et seulement si -7x +7y+12 = 0.
En reconnaissant une équation cartésienne de droite, on peut conclure :
L'ensemble des points M est la droite dont une équation cartésienne est : -7x+7y+12= 0.
Soient A\left(2;6\right) et B\left(4;-3\right).
Quel est l'ensemble des points M\left(x;y\right) du plan vérifiant l'égalité suivante ?
\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB} = 0
Calcul des coordonnées
On a A\left(2;6\right) et B\left(4;-3\right). Soit M\left(x;y\right) un point du plan. On obtient :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-2\cr\cr y-6 \end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-2 \cr\cr -3-6 \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -9 \end{pmatrix}.
Résolution de l'équation
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = 0
\Leftrightarrow 2\left(x-2\right) -9 \left(y-6\right) = 0
\Leftrightarrow 2x-4 -9y+54 = 0
\Leftrightarrow 2x -9y+50 = 0
Le point M\left(x;y\right) vérifie donc \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB} = 0 si et seulement si 2x -9y+50 = 0.
En reconnaissant une équation cartésienne de droite, on peut conclure :
L'ensemble des points M est la droite dont une équation cartésienne est : 2x-9y+50 = 0.
Soient A\left(3;-7\right) et B\left(8;1\right).
Quel est l'ensemble des points M\left(x;y\right) du plan vérifiant l'égalité suivante ?
\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM} = 0
Calcul des coordonnées
On a A\left(3;-7\right) et B\left(8;1\right). Soit M\left(x;y\right) un point du plan. On obtient :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-3 \cr\cr y+7 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x-8 \cr\cr y-1 \end{pmatrix}.
Résolution de l'équation
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow \left(x-3\right)\left(x-8\right) + \left(y+7\right)\left(y-1\right) = 0
\Leftrightarrow x^2 -8x-3x+24 +y^2-y+7y-7 = 0
\Leftrightarrow x^2 -11x+y^2+6y+17= 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2 -11x+y^2+6y+17= 0
\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{11}{2}\right)^2-\dfrac{121}{4} +\left(y+3\right)^2 -9+17 = 0
\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{11}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2 = \dfrac{121}{4} -8
\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{11}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2 = \dfrac{89}{4}
Le point M\left(x;y\right) vérifie donc \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM} = 0 si et seulement si \left(x-\dfrac{11}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2 = \dfrac{89}{4}.
En reconnaissant une équation de cercle, on peut conclure :
L'ensemble des points M est le cercle de centre K \left( \dfrac{11}{2};-3\right) et de rayon R = \sqrt{\dfrac{89}{4}}=\dfrac{\sqrt{89}}{2}.
Soient A\left(-1;1\right) et B\left(5;2\right).
Quel est l'ensemble des points M\left(x;y\right) du plan vérifiant l'égalité suivante ?
\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM} = 0
Calcul des coordonnées
On a A\left(-1;1\right) et B\left(5;2\right). Soit M\left(x;y\right) un point du plan. On obtient :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+1 \cr\cr y-1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x-5 \cr\cr y-2 \end{pmatrix}.
Résolution de l'équation
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow \left(x+1\right)\left(x-5\right) + \left(y-1\right)\left(y-2\right) = 0
\Leftrightarrow x^2 +x-5x-5 +y^2-2y-y+2 = 0
\Leftrightarrow x^2 -4x +y^2-3y-3 = 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2 -4x +y^2-3y-3 = 0
\Leftrightarrow \left(x-2\right)^2-4 +\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 -\dfrac{9}{4} -3 = 0
\Leftrightarrow \left(x-2\right)^2 +\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} +7
\Leftrightarrow \left(x-2\right)^2 +\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{37}{4}
Le point M\left(x;y\right) vérifie donc \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM} = 0 si et seulement si \left(x-2\right)^2 +\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{37}{4}.
En reconnaissant une équation de cercle, on peut conclure :
L'ensemble des points M est le cercle de centre K \left( 2 ; \dfrac{3}{2}\right) et de rayon R = \sqrt{\dfrac{37}{4}}=\dfrac{\sqrt{37}}{2}.