Soient deux points A et B du plan tels que AB = 6 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que AM^2 + BM^2 = 20 ?
Soient deux points A et B du plan tels que A\left(2;1\right) et B\left(7;3\right) et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2-MB^2 = 5 ?
On considère les points A \left(4;7\right) et B\left(-3;2\right).
Quel est l'ensemble des points M\left(x;y\right) du plan vérifiant l'égalité suivante ?
\overrightarrow{BM}. \overrightarrow{AB} = -10
On considère les points A \left(4;7\right) et B\left(-3;2\right).
Quel est l'ensemble des points M\left(x;y\right) du plan vérifiant l'égalité suivante ?
\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM} = 0
On considère les points A \left( 1;2\right) et B\left(3;5\right).
Quel est l'ensemble des points M\left(x;y\right) du plan vérifiant l'égalité suivante ?
\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB} = 0
Soient deux points A et B du plan tels que A\left(5;3\right) et B\left(12;4\right) et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2-MB^2 = 8 ?
Soit M\left( x,y \right) un point du plan.
On remarque que :
MA^2-MB^2=AM^2-BM^2 = \left\| \overrightarrow{AM} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{BM} \right\|^2
Comme les coordonnées de A et B sont A\left( 5{,}3 \right) et B\left( 12{,}4 \right), les coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM} sont :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-5 \cr\cr y-3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x-12 \cr\cr y-4 \end{pmatrix}
Or, pour tout vecteur \overrightarrow{u} on a :
\left\| \overrightarrow{u} \right\|^2=x_{\overrightarrow{u}}^2+y_{\overrightarrow{u}}^2
On peut donc en déduire :
MA^2-MB^2=\left(x-5\right)^2+\left(y-3\right)^2-\left[\left(x-12\right)^2+\left(y-4\right)^2\right]
MA^2-MB^2=x^2-10x+25+y^2-6y+9-\left(x^2-24x+144+y^2-8y+16\right)
MA^2-MB^2=14x+2y-126
Donc le point M vérifie MA^2-MB^2=8 si et seulement si 14x+2y-126=8 soit 14x+2y-134=0 soit encore 7x+y-67=0.
En reconnaissant une équation cartésienne de droite, on peut conclure :
\Gamma est la droite dont une équation cartésienne est : 7x + y-67=0.
Soient deux points A et B du plan de coordonnés A\left(1 ;3\right) et B\left(3;-2\right) et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2-MB^2 = 20 ?
Soit M\left( x,y \right) un point du plan.
On remarque que :
MA^2-MB^2=AM^2-BM^2 = \left\| \overrightarrow{AM} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{BM} \right\|^2
Comme les coordonnées de A et B sont A\left( 1{,}3 \right) et B\left( 3,-2 \right), les coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM} sont :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x-3 \cr\cr y+2 \end{pmatrix}
Or, pour tout vecteur \overrightarrow{u} on a :
\left\| \overrightarrow{u} \right\|^2=x_{\overrightarrow{u}}^2+y_{\overrightarrow{u}}^2
On peut donc en déduire :
MA^2-MB^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2-\left[\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2\right]
MA^2-MB^2=x^2-2x+1+y^2-6y+9-\left(x^2-6x+9+y^2+4y+4\right)
MA^2-MB^2=4x-10y-3
Donc le point M vérifie MA^2-MB^2=20 si et seulement si 4x-10y-3=20 soit 4x-10y-23=0.
En reconnaissant une équation cartésienne de droite, on peut conclure :
\Gamma est la droite dont une équation cartésienne est : 4x-10y-23 = 0.