On considère les points A\left(-6;45\right), B\left(15;12\right) et C\left(3;48 \right).
Le triangle ABC est-il rectangle en C ?
Le triangle ABC est rectangle en C si et seulement si les droites \left(CA\right) et \left(CB\right) sont perpendiculaires, c'est-à-dire si et seulement si \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 0.
Calcul des coordonnées de \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB}
\overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} -6-3\cr\cr 45-48\end{pmatrix} soit \overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} -9\cr\cr -3 \end{pmatrix}
\overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 15-3 \cr\cr 12-48\end{pmatrix} soit \overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 12 \cr\cr -36 \end{pmatrix}
Calcul du produit scalaire \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}
D'après le cours, on sait que, pour tous vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =xx' +yy'
Or on a :
\overrightarrow{CA} \begin{pmatrix} -9\cr\cr -3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{CB} \begin{pmatrix} 12 \cr\cr -36 \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} =-9\times 12 -3\times\left(-36\right) =-108+108= 0
Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB} sont orthogonaux.
Le triangle ABC est rectangle en C.
On considère les points A\left(4;1\right), B\left(7;2\right) et C\left(2;7\right).
Le triangle ABC est-il rectangle ?
On considère les points A\left(3;2\right), B\left(6;11\right) et C\left(-3;4\right).
Le triangle ABC est-il rectangle ?
On considère les points A\left(-2;-1\right), B\left(-1;-3\right) et C\left(3;1\right).
Le triangle ABC est-il rectangle ?
On considère les points A\left(4;8\right), B\left(1;2\right) et C\left(7;-1\right).
Le triangle ABC est-il rectangle ?
On considère les points A\left(8;-2\right), B\left(19;11\right) et C\left(5;5\right).
Le triangle ABC est-il rectangle ?