On considère les points A\left(7;4\right) et B\left(1 ;- 2\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation cartésienne de la médiatrice de \left[ AB \right] ?
Dans un repère d'origine O, on considère le triangle OAB formé avec les points A\left(11;13\right) et B\left(10 ;- 4\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation cartésienne de la hauteur de \left[ AB \right] issue de O ?
On considère les points A\left(11;13\right) et B\left(10;-4\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation cartésienne de la médiatrice de \left[ AB \right] ?
Dans un repère d'origine O, on considère le triangle OAB formé avec les points A\left(7;4\right) et B\left(1 ;- 2\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation cartésienne de la hauteur de \left[ AB \right] issue de O ?
Dans un repère d'origine O, on considère les points A\left(4;-1\right) et B\left(3;7\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation cartésienne de la droite \left( d \right) hauteur du triangle OAB issue de O ?
Relation sur les produits scalaires
La droite \left(d\right) étant la hauteur du triangle OAB issue de O, elle est perpendiculaire à \left(AB\right) et passe par le point O.
On considère un point M, de coordonnées \left(x ; y\right).
M appartient à \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{OM} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si :
\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} = 0
Calcul des coordonnées
On calcule donc les coordonnées de \overrightarrow{OM} et \overrightarrow{AB} :
- \overrightarrow{OM} \begin{pmatrix} x\cr\cr y \end{pmatrix}
-
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3-4\cr\cr 7-\left(-1\right)\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1\cr\cr 8\end{pmatrix}
Équation de la droite
Par conséquent, \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} = -x+ 8y
Comme M\in\left(d\right) si et seulement si \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} =0 :
M\in\left(d\right) si et seulement si -x+8y=0
On peut alors conclure :
Une équation cartésienne de la hauteur de OAB issue de O est : -x+8y= 0
On considère les points A\left(7;8\right) et B\left(-1;1\right) et C\left(-3;4\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation cartésienne de la droite \left( d \right) hauteur du triangle ABC issue de C ?
Relation sur les produits scalaires
La droite \left(d\right) étant la hauteur du triangle ABC issue de C, elle est perpendiculaire à \left(AB\right) et passe par le point C.
On considère un point M, de coordonnées \left(x ; y\right).
M appartient à \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si :
\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB} = 0
Calcul des coordonnées
On calcule donc les coordonnées de \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{AB} :
- \overrightarrow{CM} \begin{pmatrix} x+3\cr\cr y-4 \end{pmatrix}
-
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1-7\cr\cr 1-8\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -8\cr\cr -7\end{pmatrix}
Équation de la droite
Par conséquent :
\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB} = -8\left(x+3\right)-7\left(y-4\right)
\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB} = -8x-7y+4
Comme M\in\left(d\right) si et seulement si \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB} =0 :
M\in\left(d\right) si et seulement si -8x-7y+4=0
On peut alors conclure :
Une équation cartésienne de la droite \left( d \right) hauteur de ABC issue de C est : -8x-7y+4= 0
On considère les points A\left(-2;9\right) et B\left(6;3\right) et C\left(\dfrac{1}{2};1\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation cartésienne de la droite \left( d \right) hauteur du triangle ABC issue de C ?
Relation sur les produits scalaires
La droite \left(d\right) étant la hauteur du triangle ABC issue de C, elle est perpendiculaire à \left(AB\right) et passe par le point C.
On considère un point M, de coordonnées \left(x ; y\right).
M appartient à \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si :
\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB} = 0
Calcul des coordonnées
On calcule donc les coordonnées de \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{AB} :
- \overrightarrow{CM} \begin{pmatrix} x-\dfrac{1}{2}\cr\cr y-1 \end{pmatrix}
-
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 6-\left(-2\right)\cr\cr 3-9\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 8\cr\cr -6\end{pmatrix}
Équation de la droite
Par conséquent, \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB} = 8\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-6\left(y-1\right)
\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB} = 8x-6y+2
Comme M\in\left(d\right) si et seulement si \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB} =0 :
M\in\left(d\right) si et seulement si 8x-6y+2=0
On peut alors conclure :
Une équation cartésienne de la hauteur de ABC issue de C est : 8x-6y+2= 0 soit 4x-3y+1=0
Dans un repère d'origine O, on considère les points A\left(3;1\right) et B\left(-1 ; 2\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation cartésienne de la droite \left( d \right) hauteur du triangle OAB issue de O ?
Relation sur les produits scalaires
La droite \left(d\right) étant la hauteur du triangle OAB issue de O, elle est perpendiculaire à \left(AB\right) et passe par le point O.
On considère un point M, de coordonnées \left(x ; y\right).
M appartient à \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{OM} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si :
\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} = 0
Calcul des coordonnées
On calcule donc les coordonnées de \overrightarrow{OM} et \overrightarrow{AB} :
- \overrightarrow{OM} \begin{pmatrix} x\cr\cr y \end{pmatrix}
- \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1-3\cr\cr 2-1\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -4\cr\cr 1\end{pmatrix}
Équation de la droite
Par conséquent, \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} = -4x+ 1y
Comme M\in\left(d\right) si et seulement si \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} =0 :
M\in\left(d\right) si et seulement si -4x+y=0
On peut alors conclure :
Une équation cartésienne de la droite \left( d \right) hauteur de OAB issue de O est : -4x+y= 0