Déterminer une équation de droite définie par une propriété géométrique Exercice

La droite \left(d\right) étant la médiatrice de \left[ AB \right], elle est perpendiculaire à \left(AB\right) et passe par le milieu de \left[ AB \right], que l'on appelle I.

On considère un point M, de coordonnées \left(x ; y\right).

M appartient à \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si :

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = 0

On calcule donc les coordonnées de \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{AB}. On calcule dans un premier temps les coordonnées du point I :

• x_I = \dfrac {x_A+x_B}{2} = \dfrac{4+3}{2} = \dfrac{7}{2}
• y_I = \dfrac {y_A+y_B}{2} = \dfrac{-1+7}{2} = 3

Ainsi, I\left( \dfrac{7}{2};3\right). On peut donc calculer :

• \overrightarrow{IM} \begin{pmatrix} x-\dfrac{7}{2}\cr\cr y-3 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3-4\cr\cr 7-\left(-1\right)\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1\cr\cr 8\end{pmatrix}

Par conséquent :

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = -1\left(x-\dfrac{7}{2}\right)+ 8\left(y-3\right)

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = -x+8y-\dfrac{41}{2}

Comme M\in\left(d\right) si et seulement si \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} =0 :

M\in\left(d\right) si et seulement si -x+8y-\dfrac{41}{2}=0

On peut alors conclure :

La droite \left(d\right) étant la médiatrice de \left[ AB \right], elle est perpendiculaire à \left(AB\right) et passe par le milieu de \left[ AB \right], que l'on appelle I.

On considère un point M, de coordonnées \left(x ; y\right).

M appartient à \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si :

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = 0

On calcule donc les coordonnées de \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{AB}. On calcule dans un premier temps les coordonnées du point I :

• x_I = \dfrac {x_A+x_B}{2} = \dfrac{7-1}{2} = 3
• y_I = \dfrac {y_A+y_B}{2} = \dfrac{8+1}{2} = \dfrac{9}{2}

Ainsi, I\left( 3;\dfrac{9}{2}\right). On peut donc calculer :

• \overrightarrow{IM} \begin{pmatrix} x-3\cr\cr y-\dfrac{9}{2} \end{pmatrix}
• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1-7\cr\cr 1-8\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -8\cr\cr -7\end{pmatrix}

Par conséquent :

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = -8\left(x-3\right)-7\left(y-\dfrac{9}{2}\right)

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = -8x-7y+\dfrac{111}{2}

Comme M\in\left(d\right) si et seulement si \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} =0 :

M\in\left(d\right) si et seulement si -8x-7y+\dfrac{111}{2}=0

On peut alors conclure :

La droite \left(d\right) étant la médiatrice de \left[ AB \right], elle est perpendiculaire à \left(AB\right) et passe par le milieu de \left[ AB \right], que l'on appelle I.

On considère un point M, de coordonnées \left(x ; y\right).

M appartient à \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si :

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = 0

On calcule donc les coordonnées de \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{AB}. On calcule dans un premier temps les coordonnées du point I :

• x_I = \dfrac {x_A+x_B}{2} = \dfrac{-2+6}{2} = 2
• y_I = \dfrac {y_A+y_B}{2} = \dfrac{9+3}{2} = 6

Ainsi, I\left(2;6\right). On peut donc calculer :

• \overrightarrow{IM} \begin{pmatrix} x-2\cr\cr y-6 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 6-\left(-2\right)\cr\cr 3-9\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 8\cr\cr -6\end{pmatrix}

Par conséquent :

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = 8\left(x-2\right)-6\left(y-6\right)

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = 8x-6y+20

Comme M\in\left(d\right) si et seulement si \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} =0 :

M\in\left(d\right) si et seulement si 8x-6y+20=0

On peut alors conclure :

La droite \left(d\right) étant la médiatrice de \left[ AB \right], elle est perpendiculaire à \left(AB\right) et passe par le milieu de \left[ AB \right], que l'on appelle I.

On considère un point M, de coordonnées \left(x ; y\right).

M appartient à \left(d\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si :

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = 0

On calcule donc les coordonnées de \overrightarrow{IM} et \overrightarrow{AB}. On calcule dans un premier temps les coordonnées du point I :

• x_I = \dfrac {x_A+x_B}{2} = \dfrac{3-1}{2} = 1
• y_I = \dfrac {y_A+y_B}{2} = \dfrac{1+2}{2} = \dfrac{3}{2}

Ainsi, I\left(1 ; \dfrac{3}{2}\right). On peut donc calculer :

• \overrightarrow{IM} \begin{pmatrix} x-1\cr\cr y-\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}
• \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -1-3\cr\cr 2-1\end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -4\cr\cr 1\end{pmatrix}

Par conséquent :

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = -4\left(x-1\right)+ 1\left(y-\dfrac{3}{2}\right)

\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} = -4x+y+\dfrac{5}{2}

Comme M\in\left(d\right) si et seulement si \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB} =0 :

M\in\left(d\right) si et seulement si -4x+y+\dfrac{5}{2}=0

On peut alors conclure :