Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( 1;2\right) et B\left(\dfrac{2}{3};2\right) ?
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in C si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0.
Détermination des coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \cr\cr y_M - y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x-\dfrac{2}{3}\cr\cr y-2\end{pmatrix}
Résolution de l'équation \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow \left(x-1\right)\left(x-\dfrac{2}{3}\right) + \left(y-2\right)\left(y-2\right) = 0
\Leftrightarrow x^2-x -\dfrac{2}{3}x +\dfrac{2}{3}+y^2-2y-2y+4= 0
\Leftrightarrow x^2-\dfrac{5}{3}x +y^2-4y+\dfrac{14}{3}= 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2-\dfrac{5}{3}x +y^2-4y+\dfrac{14}{3}= 0
\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{25}{36}+\left(y-2\right)^2-4+\dfrac{14}{3}= 0
\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\left(y-2\right)^2= \dfrac{1}{36}
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2=R^2.
On peut donc conclure :
Le cercle C a pour équation \left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\left(y-2\right)^2= \dfrac{1}{36}.
On considère le cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( -1;-2\right) et B\left(-3;-4\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C ?
On considère le cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( -1;3\right) et B\left(\dfrac{1}{3};2\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C ?
On considère le cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( -7;14\right) et B\left(3;8\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C ?
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( -\dfrac{1}{2};2\right) et B\left(3;3\right) ?
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in C si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0.
Détermination des coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \cr\cr y_M - y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x+\dfrac{1}{2} \cr\cr y -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x-3\cr\cr y-3\end{pmatrix}
Résolution de l'équation \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x-3\right) + \left(y-2\right)\left(y-3\right) = 0
\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{2}x-3x -\dfrac{3}{2}+y^2-2y-3y+6= 0
\Leftrightarrow x^2-\dfrac{5}{2}x +y^2-5y+\dfrac{9}{2}= 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2-\dfrac{5}{2}x +y^2-5y+\dfrac{9}{2}= 0
\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{25}{16}+\left(y-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+\dfrac{9}{2}= 0
\Leftrightarrow \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{2}\right)^2= \dfrac{53}{16}
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2=R^2.
On peut donc conclure :
Le cercle C a pour équation \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{2}\right)^2= \dfrac{53}{16}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une équation du cercle C de diamètre \left[ AB \right], avec A\left( -2;-3\right) et B\left(-4;-5\right) ?
Soit M\left(x;y\right) un point du plan. D'après le cours, on sait que M \in C si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0.
Détermination des coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}
D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \cr\cr y_M - y_A \end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x_M - x_B \cr\cr y_M - y_B \end{pmatrix}
On en déduit que :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x +2 \cr\cr y +3\end{pmatrix} et \overrightarrow{BM} \begin{pmatrix} x+4\cr\cr y+5\end{pmatrix}
Résolution de l'équation \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0
\Leftrightarrow \left(x+2\right)\left(x+4\right) + \left(y+3\right)\left(y+5\right) = 0
\Leftrightarrow x^2+2x+4x+8+y^2+3y+5y+15= 0
\Leftrightarrow x^2+6x+y^2+8y+23 = 0
On fait apparaître deux identités remarquables :
x^2+6x+y^2+8y+23 = 0
\Leftrightarrow \left(x+3\right)^2-9+\left(y+4\right)^2-16+23= 0
\Leftrightarrow \left(x+3\right)^2+\left(y+4\right)^2=2
Cette équation est bien de la forme \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right)^2=R^2.
On peut donc conclure :
Le cercle C a pour équation \left(x+3\right)^2+\left(y+4\right)^2=2.