On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 6 , BC = 8 et \widehat{ABC} = 60°.
D'après le théorème d'Al-Kashi, quelle est la valeur de la longueur AC ?
D'après le théorème d'Al-Kashi, on sait que dans un triangle quelconque ABC, en notant a, b et c les longueurs respectives BC, AC et AB, on a l'égalité suivante :
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat{ABC}
On en déduit ici que :
AC^2=BC^2+AB^2-2BC\times AB\times \cos\widehat{ABC}
Soit :
AC^2=8^2+6^2-2\times 8 \times 6\times \cos\ 60^\circ
AC^2=64+36-96\times \dfrac{1}{2}
AC^2=52
AC étant une longueur, c'est une quantité positive et donc :
AC=\sqrt {52} = 2 \sqrt{13}
AC=2 \sqrt {13}
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 7, BC= 9 et \widehat{CBA} = 70°.
D'après le théorème d'Al-Kashi, quelle est la valeur de la longueur AC ?
D'après le théorème d'Al-Kashi, on sait que dans un triangle quelconque ABC, en notant a, b et c les longueurs respectives BC, AC et AB, on a l'égalité suivante :
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat{ABC}
On en déduit ici que :
AC^2=BC^2+AB^2-2BC\times AB\times \cos\widehat{ABC}
Soit :
AC^2=9^2+7^2-2\times9 \times 7\times \cos\ 70^\circ
AC^2\approx81+49-126\times0{,}342
AC^2\approx86{,}9
AC étant une longueur, c'est une quantité positive et donc :
AC\approx 9{,}3
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 1, AC= 2 et \widehat{BAC} = 12°.
D'après le théorème d'Al-Kashi, quelle est la valeur de la longueur BC ?
D'après le théorème d'Al-Kashi, on sait que, dans un triangle quelconque ABC, on a l'égalité suivante :
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{BAC}
On en déduit ici que :
BC^2=AC^2+AB^2-2AC\times AB\times \cos\widehat{BAC}
Soit :
BC^2=2^2+1^2-2\times 2 \times 1\times \cos\ 12^{\circ}
BC^2 \approx5 -4 \times 0{,}978
BC^2\approx 1{,}087
BC étant une longueur, c'est une quantité positive et on peut donc conclure :
BC\approx 1{,}04
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 3, BC= 6 et \widehat{CBA} = 120°.
D'après le théorème d'Al-Kashi, quelle est la valeur de la longueur AC ?
D'après le théorème d'Al-Kashi, on sait que dans un triangle quelconque ABC, en notant a, b et c les longueurs respectives BC, AC et AB, on a l'égalité suivante :
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat{CBA}
On en déduit ici que :
AC^2=BC^2+AB^2-2BC\times AB\times \cos\widehat{CBA}
Soit :
AC^2=6^2+3^2-2\times6 \times 3\times \cos\ 120^\circ
AC^2=36+9-36\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)
AC^2=63
AC étant une longueur, c'est une quantité positive et donc :
AC\approx7{,}94
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 3, AC= 4 et BC =2.
D'après le théorème d'Al-Kashi, quelle est la mesure de l'angle \widehat{ACB} ?
D'après le théorème d'Al-Kashi, on sait que dans un triangle quelconque ABC, en notant a, b et c les longueurs respectives BC, AC et AB, on a l'égalité suivante :
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat{ACB}
On en déduit ici que :
AB^2=BC^2+AC^2-2\times BC\times AC\times \cos\widehat{ACB}
D'où :
\cos\widehat{ACB} =\dfrac{BC^2+AC^2-AB^2}{2\times BC\times AC}
Soit :
\cos\widehat{ACB} =\dfrac{2^2+4^2-3^2}{2\times2\times 4}
\cos\widehat{ACB} =\dfrac{11}{16}
Finalement, grâce à la touche cos^{-1} de la calculatrice, on peut conclure :
\widehat{ACB} \approx 46{,}6°
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 6, AC= 8 et BC =3.
D'après le théorème d'Al-Kashi, quelle est la mesure de l'angle \widehat{CBA} ?
D'après le théorème d'Al-Kashi, on sait que dans un triangle quelconque ABC, en notant a, b et c les longueurs respectives BC, AC et AB, on a l'égalité suivante :
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat{CBA}
On en déduit ici que :
AC^2=BC^2+AB^2-2\times BC\times AB\times \cos\widehat{CBA}
D'où :
\cos\widehat{CBA} =\dfrac{BC^2+AB^2-AC^2}{2\times BC\times AB}
Soit :
\cos\widehat{CBA} =\dfrac{3^2+6^2-8^2}{2\times 3\times 6}
\cos\widehat{CBA} =-\dfrac{19}{36}
Grâce à la touche cos^{-1} de la calculatrice, on peut conclure :
\widehat{CBA} \approx 121{,}9°
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 6, AC= 10 et BC =7.
D'après le théorème d'Al-Kashi, quelle est la mesure de l'angle \widehat{BAC} ?
D'après le théorème d'Al-Kashi, on sait que dans un triangle quelconque ABC, en notant a, b et c les longueurs respectives BC, AC et AB, on a l'égalité suivante :
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{BAC}
On en déduit ici que :
BC^2=AC^2+AB^2-2AC\times AB\times \cos\widehat{BAC}
D'où :
\cos\widehat{BAC} =\dfrac{AC^2+AB^2-BC^2}{2\times AC\times AB}
Soit :
\cos\widehat{BAC} =\dfrac{10^2+6^2-7^2}{2\times 10\times 6}
\cos\widehat{BAC} =\dfrac{87}{120}
A l'aide de la touche \cos^{-1} de la calculatrice, on peut conclure :
\widehat{BAC} \approx 43{,}5°