Soient deux points A et B du plan tels que AB = 11, et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que AM^2 + BM^2 =101 ?
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 10, et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que AM^2 + BM^2 = 82 ?
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 9, et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que AM^2 + BM^2 =50 ?
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 4, et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que AM^2 + BM^2 = 16 ?
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 6 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que AM^2 + BM^2 = 68 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=6 :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-9
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=68 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=25.
Comme MI est une longueur, elle est forcément positive et donc :
MI^2=25\Leftrightarrow MI=5
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=68 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=5.
\Gamma est le cercle de centre I milieu de \left[ AB \right] et de rayon 5.
Soient deux points A et B du plan tels que AB = \dfrac{3}{2} et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2 + MB^2 = 3 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=\dfrac{3}{2} :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{9}{16}
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=3 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=\dfrac{15}{16}.
Comme MI est une longueur, elle est forcément positive et donc :
MI^2=\dfrac{15}{16}\Leftrightarrow MI=\sqrt{\dfrac{15}{16}}\Leftrightarrow MI=\dfrac{\sqrt{15}}{4}
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=3 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=\dfrac{\sqrt{15}}{4}.
\Gamma est le cercle de centre I milieu de \left[ AB \right] et de rayon \dfrac{\sqrt{15}}{4}.