Soient deux points A et B du plan tels que AB = 7, et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que AM^2 + BM^2 =\dfrac{53}{2} ?
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 5 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2 + MB^2 = 15 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=5 :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{25}{4}
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=15 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=\dfrac{5}{4}.
Comme MI est une longueur, elle est forcément positive et donc :
MI^2=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow MI=\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=15 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.
\Gamma est le cercle de centre I milieu de \left[ AB \right] et de rayon \dfrac{\sqrt{5}}{2}.
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 16 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2 + MB^2 = 200 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=16 :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-64
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=200 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=36.
Comme MI est une longueur, elle est forcément positive et donc :
MI^2=36\Leftrightarrow MI=\sqrt{36}\Leftrightarrow MI=6
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=200 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=6.
\Gamma est le cercle de centre I milieu de \left[ AB \right] et de rayon 6.
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 4 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2 + MB^2 = 8 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=4 :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-4
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=8 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=0.
Or :
MI^2=0\Leftrightarrow MI=0
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=8 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=0.
\Gamma est le point I, milieu de \left[ AB \right].
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 3 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2 + MB^2 = 8 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=3 :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{9}{4}
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=8 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=\dfrac{7}{4}.
Comme MI est une longueur, elle est forcément positive et donc :
MI^2=\dfrac{7}{4}\Leftrightarrow MI=\sqrt{\dfrac{7}{4}}\Leftrightarrow MI=\dfrac{\sqrt{7}}{2}
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=8 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=\dfrac{\sqrt{7}}{2}.
\Gamma est le cercle de centre I milieu de \left[ AB \right] et de rayon \dfrac{\sqrt{7}}{2}.
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 1 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2 + MB^2 = 2 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=1 :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{1}{4}
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=2 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=\dfrac{3}{4}.
Comme MI est une longueur, elle est forcément positive et donc :
MI^2=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow MI=\sqrt{\dfrac{3}{4}}\Leftrightarrow MI=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=2 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\Gamma est le cercle de centre I milieu de \left[ AB \right] et de rayon \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Soient deux points A et B du plan tels que AB = 2 et soit I le milieu de \left[ AB \right].
Quel est l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que MA^2 + MB^2 = 9 ?
Soit M un point du plan. Dans le triangle ABM, en notant I le milieu de \left[ AB \right], d'après le théorème de la médiane on a :
MA^2+MB^2= 2 MI^2+\dfrac{AB^2}{2}
2 MI^2=MA^2+MB^2-\dfrac{AB^2}{2}
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-\dfrac{AB^2}{4}
Comme AB=2 :
MI^2=\dfrac{MA^2+MB^2}{2}-1
Chercher l'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=9 revient donc à chercher l'ensemble des points M du plan tels que MI^2=\dfrac{7}{2}.
Comme MI est une longueur, elle est forcément positive et donc :
MI^2=\dfrac{7}{2}\Leftrightarrow MI=\sqrt{\dfrac{7}{2}}
L'ensemble des points M du plan tels que MA^2+MB^2=9 est donc l'ensemble des points M du plan tels que MI=\sqrt{\dfrac{7}{2}}.
\Gamma est le cercle de centre I milieu de \left[ AB \right] et de rayon \sqrt{\dfrac{7}{2}}.