Dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), on a les points :
A\left(-1;2\right), B\left(3;4\right) et C\left(2;-2\right)
Quel est le produit scalaire \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} ?
On se place dans le repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).
On calcule les coordonnées respectives des vecteurs \overrightarrow{CA} et \overrightarrow{CB}.
\overrightarrow{CA}\left(x_A-x_C;y_A-y_C\right), donc :
\overrightarrow{CA}\left(-1-2;2-\left(-2\right)\right), donc :
\overrightarrow{CA}\left(-3;4\right)
et
\overrightarrow{CB}\left(x_B-x_C;y_B-y_C\right), donc :
\overrightarrow{CB}\left(3-2;4-\left(-2\right)\right), donc :
\overrightarrow{CB}\left(1;6\right)
D'où :
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=1\times\left(-3\right)+6\times 4=21
\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=21
Quelle est la valeur approchée arrondie au dixième de la mesure en degrés de l'angle \widehat{ACB} ?
\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=CA\times CB\times\cos\left(\widehat{ACB}\right)
Or :
CA=\sqrt{\left(-3\right)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
CB=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}
Donc :
\cos\left(\widehat{ACB}\right)=\cfrac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{CA\times CB} car CA \gt 0 et CB \gt 0
Donc :
\cos\left(\widehat{ACB}\right)=\cfrac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{CA\times CB}\\\cos\left(\widehat{ACB}\right)=\cfrac{21}{5\sqrt{37}}=\cfrac{21\sqrt{37}}{185}
Donc :
\widehat{ACB}=\cos^{-1}\left(\cfrac{21\sqrt{37}}{185}\right)\approx 46{,}3
L'angle \widehat{ACB} mesure environ 46{,}3^\circ.