Calculer la somme des puissances de 1 à n d'un nombre réel donné Exercice

On sait que :
\forall q\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} et \forall n \in \mathbb{N}^*,  \sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Ici, on a :
S=\sum_{k=0}^{10}2^k

Donc :
 S=\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=\dfrac{1-\text{2 048}}{-1}=\dfrac{-\text{2 047}}{-1} = \text{2 047}

On sait que :
\forall q\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} et \forall n \in \mathbb{N}^* ,  \sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Ici, on a :
S=\sum_{k=0}^{22}3^k

Donc :
 S=\dfrac{1-3^{23}}{1-3}=\dfrac{-\text{94 143 178 826}}{-2}=\text{47 071 589 413}

On sait que :
\forall q\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} et \forall n \in \mathbb{N}^*,  \sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Ici, on a :
S=\sum_{k=0}^{8}5^k

Donc :
 S=\dfrac{1-5^{9}}{1-5}=\dfrac{-\text{1 953 124}}{-4}=\text{488 281}

On sait que :
\forall q\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} et \forall n \in \mathbb{N}^* ,  \sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Ici, on a :
S=\sum_{k=0}^{12}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k

Donc :
 S=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{13}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1-\dfrac{1}{\text{8 192}}}{\dfrac{1}{2}}=2-\dfrac{2}{\text{8 192}} = \dfrac{\text{16 382}}{\text{8 192}} = \dfrac{\text{8 191}}{\text{4 096}}

On sait que :
\forall q\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} et \forall n \in \mathbb{N}^* ,  \sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Ici, on a :
S=\sum_{k=0}^{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k

Donc :
 S=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1-\dfrac{1}{243}}{\dfrac{2}{3}}= \dfrac{242}{243} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{121\times 3}{243}=\dfrac{121\times 3}{81\times 3} = \dfrac{121}{81}