Déterminer le sens de variation d'une suite géométriqueMéthode

Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique définie par récurrence : \begin{cases}u_{n_0} \\ \forall n\in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n \times q\end{cases}.

Pour déterminer son sens de variation, on doit étudier le signe de la raison q.

On considère la suite définie pour tout entier n\geq 2 par : u_n=\dfrac{n}{n−1}.

Déterminer le sens de variation de la suite u.

Etape 1

Calculer \dfrac{u_{n+1}}{u_n}

Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut déterminer le sens de variation de la suite en comparant le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} avec 1.

Pour tout entier n\geq 2, n>0 et n−1>0, donc u_n>0.

Les termes de la suite (u_n)_{n\geq 2} sont bien strictement positifs.

Soit n\in\mathbb{N}-\{0; 1\}.

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n}{n−1}}=\dfrac{n+1}{n}\times \dfrac{n−1}{n}=\dfrac{n^2−1}{n^2}

Etape 2

Déterminer le sens de variation de la suite

Lorsque tous les termes sont strictement positifs, le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q donne le sens de variation :

  • si 0<q\leq 1, la suite est décroissante
  • si 0<q< 1, la suite est strictement décroissante
  • si q=1, la suite est constante
  • si q\geq1, la suite est croissante
  • si q>1, la suite est strictement croissante

Comme on a nécessairement 0\leq n^2−1<n^2, on obtient \dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1

La suite (u_n)_{n\geq 2} est donc strictement décroissante.