Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique définie par récurrence : \begin{cases}u_{n_0} \\ \forall n\in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n \times q\end{cases}.
Pour déterminer son sens de variation, on doit étudier le signe de la raison q.
On considère la suite définie pour tout entier n\geq 2 par : u_n=\dfrac{n}{n-1}.
Déterminer le sens de variation de la suite u.
Calculer \dfrac{u_{n+1}}{u_n}
Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut déterminer le sens de variation de la suite en comparant le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} avec 1.
Pour tout entier n\geq 2, n>0 et n-1>0, donc u_n>0.
Les termes de la suite (u_n)_{n\geq 2} sont bien strictement positifs.
Soit n\in\mathbb{N}-\{0; 1\}.
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n}{n-1}}=\dfrac{n+1}{n}\times \dfrac{n-1}{n}=\dfrac{n^2-1}{n^2}
Déterminer le sens de variation de la suite
Lorsque tous les termes sont strictement positifs, le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q donne le sens de variation :
- si 0<q\leq 1, la suite est décroissante
- si 0<q< 1, la suite est strictement décroissante
- si q=1, la suite est constante
- si q\geq1, la suite est croissante
- si q>1, la suite est strictement croissante
Comme on a nécessairement 0\leq n^2-1<n^2, on obtient \dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1.
La suite (u_n)_{n\geq 2} est donc strictement décroissante.