Dans chacun des cas suivants, calculer le terme général de la suite arithmétique définie par un algorithme.
Soit la suite (u) définie par l'algorithme Python suivant :
def u(n):
u=2
for i in range(n):
u=u+3
return u
L'algorithme \texttt{u} défini dans l'énoncé est une suite définie par récurrence :
- Le terme initial est défini avant la boucle for : u_0 = 2.
- La récurrence est donnée ensuite par l'affectation dans la boucle for : \forall i \in \left[ 0, n-1\right], u_{i+1} = u_i +3.
Donc la suite (u) définie par l'algorithme selon \texttt{u} :
\begin{cases} u_0=2 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n+3 \end{cases}
Ainsi, le terme général de la suite (u) est :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=2+3n
Soit la suite (u) définie par l'algorithme Python suivant :
def u(n):
u=range(n+1)
for i in range(n+1):
u[i]=5*u[i]+3
return u[n]
L'algorithme \texttt{u} défini dans l'énoncé est une suite définie de manière explicite :
- Le tableau u est initialisé avec une taille n+1 de sorte que :
\forall i \in \left[0,n\right], u[i] = i - La boucle for effectue enfin le calcul suivant :
\forall i \in \left[0,n\right], u[i] = 5\times u[i]+3 = 5\times i+3
Donc dans la case n du tableau se trouve le nombre suivant :
u[n] = 5\times n+3
Le programme retourne bien la valeur u[n].
Ainsi, le terme général de la suite (u) est :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=5n+3
Soit la suite (u) définie par l'algorithme Python suivant :
def u(n):
u=0
i=0
while i<n:
u=u-4
i=i+1
return u
L'algorithme \texttt{u} défini dans l'énoncé est une suite définie par récurrence :
- Le terme initial est défini avant la boucle for : u_0 = 0.
- La récurrence est donnée ensuite par l'affectation dans la boucle while : \forall i \in \left[ 0, n-1\right], u_{i+1} = u_i-4.
Donc la suite (u) définie par l'algorithme selon \texttt{u} :
\begin{cases} u_0=0 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n-4 \end{cases}
Ainsi, le terme général de la suite (u) est :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=-4n
Soit la suite (u) définie par l'algorithme Python suivant :
def u(n):
if n==0:
return -1
else:
return 4+u(n-1)
L'algorithme \texttt{u} défini dans l'énoncé est une suite définie par récurrence :
- Le terme initial est défini dans la condition « if n==0 » : u_0 = -1.
- La récurrence est donnée ensuite dans la condition « else » : \forall n \in \mathbb{N}^*, u_{n} = u_{n-1}+4.
Donc la suite (u) définie par l'algorithme selon \texttt{u} :
\begin{cases} u_0=-1 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n+4 \end{cases}
Ainsi, le terme général de la suite (u) est :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=4n-1
Soit la suite (u) définie par l'algorithme Python suivant :
def u(n):
u=2
for i in range(n):
u=diminue(u,5)
return u
Où la fonction diminue est définie par :
def diminue(u,k):
return (u-k)
L'algorithme \texttt{u} défini dans l'énoncé est une suite définie par récurrence :
- Le terme initial est défini avant la boucle for : u_0 = 2.
- La récurrence est donnée ensuite dans la boucle : \forall i \in \left[0,n-1\right], u_{i+1} = \text{diminue}(u_i,5) = u_{i}-5.
Donc la suite (u) définie par l'algorithme selon \texttt{u} :
\begin{cases} u_0=2 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n-5 \end{cases}
Ainsi, le terme général de la suite (u) est :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=2-5n