Soit (u_n) la suite définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 3n+4
On souhaite définir la fonction f définie sur \mathbb{R} telle qu'on puisse définir la suite (u_n) comme :
\begin{cases} u_0 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{cases}
Quelle est la valeur de u_0 ?
La suite (u_n) est définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 3n+4
Pour n=0 :
u_0 = 3\times0+4
u_0 = 4
La valeur de u_0 est donc 4.
Quelle est la relation entre u_{n+1} et u_n ?
Soit n \in \mathbb{N}.
D'après la définition de (u_n), on a :
u_n = 3n+4
Donc :
u_{n+1} = 3(n+1)+4
u_{n+1} = 3n+3+4
u_{n+1} = 3n+4+3
On reconnaît la valeur de u_n.
Donc :
u_{n+1} = u_n+3
La relation entre u_{n+1} et u_n est donc :
u_{n+1} = u_n+3
Comment peut-on qualifier la suite (u_n) ?
On a montré que :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n +3
On reconnaît ici une suite arithmétique.
La suite (u_n) est donc une suite arithmétique.
Quelle est la fonction f définie sur \mathbb{R} telle qu'on puisse définir la suite (u_n) comme suit ?
\begin{cases} u_0 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{cases}
On a déterminé u_0 dans la première question.
On a montré que \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n +3 .
On cherche la fonction f telle que :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_n)
On identifie f comme la fonction suivante :
f(x) = x+3
La fonction f est appelée fonction génératrice de(u_n).
La fonction f définie sur \mathbb{R} telle qu'on puisse définir la suite (u_n) comme \begin{cases} u_0 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{cases} est donc : f(x) = x+3.