Déterminer le sens de variation d'une suite arithmétiqueMéthode

Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique définie par récurrence : \begin{cases}u_{n_0} \\ \forall n\in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n + r\end{cases}.

Pour déterminer son sens de variation, on doit étudier le signe de la raison r.

Considérons la suite définie sur \mathbb{N} par u_n=3−4n.

Montrer le sens de variation de la suite u

Etape 1

Calculer u_{n+1}-u_n

Pour tout entier n, on calcule u_{n+1}-u_n.

u_{n+1}=3−4(n+1)=3−4n−4=−1−4n

donc u_{n+1}-u_n=−1−4n-(3−4n)=−4

Etape 2

Donner le sens de variation de la suite

Le signe de la différence u_{n+1}-u_n = r entre deux termes consécutifs donne le sens de variation de la suite :

  • si r \leq 0, la suite est décroissante
  • si r < 0, la suite est strictement décroissante
  • si r\geq 0, la suite est croissante
  • si r >0, la suite est strictement croissante
  • si r = 0, la suite est constante

Ainsi, pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n<0. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est donc strictement décroissante.