Suites numériquesCours

I

Généralités sur les suites numériques

A

Vocabulaire

Une suite numérique (u_n) est une succession de termes u_n  où n est un entier naturel.

Suite numérique réelle 

Une suite numérique réelle est une fonction u qui à tout entier naturel n (ou tout entier supérieur à un certain entier naturel n_0), associe un réel :

u : n  \mapsto u(n).

La fonction qui à tout entier naturel n associe son double est une suite. On a alors :

u:n\longmapsto2n

Dans ce cas :

  • u(1)=2\times1=2
  • u(2)=2\times2=4
  • u(3)=2\times3=6

Terme d'indice n

Soit n un entier naturel. Le terme d'indice n d'une suite  (u_n) est  u_n.

On considère la suite u définie de la façon suivante :

\forall n \in \mathbb{N}u_n = 2n.

Dans ce cas :

  • Le terme d'indice 1 est  u(1)=2.
  • Le terme d'indice 2 est  u(2)=4.
  • Une suite u est notée  (u_n).
  • Le terme de rang n de la suite est noté  u_n.
  • L'écriture  u_n  est semblable à  u(n)

On dit que (u_n) est la suite de terme général u_n.

Lorsqu'une suite v n'est pas définie pour tous les entiers naturels, on peut la noter (v_n)_{n\geq n_0}, où n_0 est le premier indice de la suite. En particulier, lorsqu'une suite n'est définie qu'à partir du terme n=1, on écrit (u_n)_{n\in\mathbb{N}^{\star}}.

On considère de nouveau la suite (v_n) définie pour tout n>4 par v_n=\sqrt{n−4}.

Elle est notée (v_n)_{n\geq 4}.

Il ne faut pas confondre « terme » et « indice ».

Dans l'écriture u_5 = 25 :

  • le terme vaut 25 
  • l'indice est 5

Il ne faut pas confondre u_{n+1}  et u_n+1.

u_{n+1} est le terme d'indice n+1, alors que u_n+1 est le terme de rang n augmenté de 1.

Soit (u_n)  la suite définie par :

\forall n\in \mathbb{N}, u_n = n^2

Alors pour n=5 :

  • u_{n+1} = u_6 = 36
  • u_n+1 = u_5+1 = 25+1 = 26

Terme initial

Le terme initial d'une suite (u_n)  est u_{n_0}, où n_0 est le premier entier tel que le terme de la suite existe.

On considère la suite (v_n) définie par pour tout entier supérieur à 4 par v_n=\sqrt{n−4}.

Le terme initial de la suite (v_n) est v_4=\sqrt{4−4}=0.

Dans la majeure partie des cas, une suite est définie pour tout entier naturel n. Le terme initial est alors  u_0.

B

La définition d'une suite

Définir une suite, c'est donner une formule permettant de calculer tous ses termes. Une suite peut être définie de manière explicite (la valeur de chaque terme est directement donnée) ou par récurrence (la valeur d'un terme est donnée en fonction du terme précédent). Elle peut également est définie dans un algorithme, ou par des motifs géométriques.

1

La définition explicite

Une suite est définie de manière explicite lorsque l'on connaît directement la valeur de n'importe quel terme  u_n en fonction de n.

Suite définie sous forme explicite

Une suite u définie sous forme explicite est donnée par son terme général exprimé en fonction de n

On peut l'écrire comme u_n = f(n), où f est une fonction.

Soit la suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par u_n=2n−1. Cette suite est définie de façon explicite.

Pour tout entier naturel n, on a u_n=f(n)f est la fonction affine x\mapsto 2x−1.

Le calcul du terme d'indice 83, par exemple, est direct :

u_{83}=f(83)=2\times 83−1=165

2

La génération par une relation de récurrence

Lorsqu'une suite est définie par récurrence, on ne peut pas calculer directement la valeur du terme  u_n en fonction de n. On sait uniquement calculer la valeur du terme u_n  en fonction de celui qui précède.

Suite définie par récurrence

Une suite u définie par récurrence est donnée par son terme initial u_{n_0} et une relation reliant chaque terme au terme précédent.

On peut l'écrire comme  \begin{cases}u_{n_0}\\u_{n+1}=f(u_n),\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}, n\geq n_0\end{cases}, où f est une fonction.

On considère la suite u définie sur \mathbb{N} par  \begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=2u_n−1,\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}.

Alors on a u_{n+1}=f(u_n)f est la fonction affine x\mapsto 2x−1.

u_1=f(u_0)=f(2)=2\times 2−1=3

u_2=f(u_1)=f(3)=2\times 3−1=5

u_3=f(u_2)=f(5)=2\times 5−1=9, etc.

Dans ce cas, pour calculer un terme de la suite, il faut avoir calculé au préalable le terme précédent.

3

La génération par un algorithme

Une suite peut être définie par un algorithme.

Dans ce cas, l'algorithme prend comme entrée un entier naturel et renvoie un réel. L'entier naturel correspond à l'indice de la suite et le réel à la valeur du terme correspondant.

Le programme suivant (écrit en langage Python) définit une suite sur \mathbb{N} :

-

En notant u_n le résultat obtenu en exécutant f(n), on obtient :

-

L'algorithme donné correspond à la définition suivante de la suite u sur \mathbb{N} : u_n=\begin{cases}\dfrac{n}{2},\text{ si }n\text{ est pair},\\2n−1,\text{ sinon}\end{cases}

4

La définition par des motifs géométriques

Une suite peut également être générée par des motifs géométriques.

On applique alors la même transformation sur un motif géométrique donné. 

Le flocon de Von Koch est une figure géométrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral par réitération d'une transformation appliquée à chaque côté de la figure.

  • À l'étape 0 (figure de départ), la figure est un triangle équilatéral.
  • Pour passer d'une étape n (avec n\in\mathbb{N}) à la suivante (étape n+1), on remplace chaque côté du polygone par une ligne brisée de 4 segments de longueur égale au tiers de la longueur des côtés du polygone obtenu à l'étape n en appliquant le procédé suivant :
-

On obtient ainsi les polygones suivants :

-

Si à chaque étape on associe le nombre de côtés de la figure, on définit une suite sur \mathbb{N}.

En notant c_n le nombre de côtés de la figure obtenue à l'étape n (où n\in\mathbb{N}), on obtient :

c_0=3, c_1=12, c_2=48, c_3=144, etc.

C

Le sens de variation d'une suite

Une suite peut être soit croissante (ses termes sont de plus en plus grands), soit décroissante (ses termes sont de plus en plus petits). Si ce comportement fluctue, on dit que la suite n'est pas monotone.

Suite croissante

Une suite u est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n tel que u_n existe, u_n\leq u_{n+1}.

La suite u définie sur \mathbb{N} telle que :  \begin{cases} u_{0} = 0\\u_{n+1} = u_n+1\end{cases}  

La suite u est strictement croissante, car on ajoute 1 entre deux termes. En effet, en calculant la différence entre  u_{n+1}  et u_n on obtient :

u_{n+1}-u_n=u_n+1-u_n=1  et 1 \geqslant 0 donc  u_{n+1} \geqslant u_n

On peut également définir une suite strictement croissante en remplaçant \leq par <.

Décroissante

Une suite u est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n tel que u_n existe, u_n\geq u_{n+1}.

 La suite u définie sur \mathbb{N} telle que :  \begin{cases} u_{0} = 0\\u_{n+1} = u_n-1\end{cases}  

La suite u est décroissante, car on soustrait 1 entre deux termes. En effet, en calculant la différence entre  u_{n+1}  et u_n on obtient :

u_{n+1}-u_n=u_n+1-u_n=-1  et 1 \geqslant 0 donc  u_n \geqslant u_{n+1}

On peut également définir une suite strictement décroissante en remplaçant \geq par >.

Constante

Une suite u est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n tel que u_n existe, u_n=u_{n+1}.

La suite u définie sur \mathbb{N} telle que :  \begin{cases} u_{n_0} = 0\\u_{n+1} = u_n\end{cases}  est constante car tous les termes sont égaux. 

Monotone

Une suite u est monotone lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante.

D

La représentation graphique d'une suite

Une suite est représentée graphiquement par une succession de points de coordonnées (n, u_n). Suivant la manière dont une suite est définie (de manière explicite ou par récurrence), la méthode pour la représenter est différente.

1

La représentation graphique d'une suite définie sous forme explicite

Pour représenter une suite définie de manière explicite, on place directement tous les points de coordonnées (n,U_n).

Soit u une suite définie à partir d'un certain rang n_0 par u_n=f(n)f est une fonction définie sur \left[n_0;+\infty\right)

Pour tout n\geq n_0, u_n est l'ordonnée du point de la courbe représentative de f d'abscisse n.

Soit \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} la suite définie par u_n=\sqrt{n+1}.

On a alors, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=f(n) avec f:x\mapsto \sqrt{x+1}.

Pour tout entier naturel n, u_n est donc l'ordonnée du point d'abscisse n de la courbe représentative de f.

-
2

La représentation graphique d'une suite définie par récurrence

Lorsqu'une suite est définie par récurrence, on ne connait pas directement toutes les valeurs de U_n. Pour la représenter graphiquement, on doit placer les points un à un, dans l'ordre, en utilisant la droite d'équation y=x.

Soit u une suite définie par récurrence à partir d'un certain rang n_0 par u_{n+1}=f(u_n), où f est une fonction définie sur un intervalle incluant les valeurs des termes de la suite. Pour tout n\geq n_0, u_{n+1} est l'ordonnée du point de la courbe de f d'abscisse u_n.

Soit \left( v_n\right)_{n\in\mathbb{N}} la suite définie par v_0=1 et pour tout n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=\sqrt{v_n+1}.

On a alors, pour tout n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=f(v_n) avec f:x\mapsto \sqrt{x+1}.

Pour tout entier naturel n, v_{n+1} est donc l'ordonnée du point d'abscisse v_n de la courbe de f.

Pour visualiser un terme sur l'axe des ordonnées, il faut donc déjà avoir le précédent sur l'axe des abscisses.

-

Pour placer les différents termes de la suite sur l'axe des abscisses, on peut utiliser la droite d'équation y=x qui permet de « ramener » sur l'axe des abscisses une valeur obtenue sur l'axe des ordonnées. La droite d'équation y=x permet de « passer » facilement d'un nombre qui est sur l'axe des ordonnées au même nombre sur l'axe des abscisses.

Soit \left( v_n\right)_{n\in\mathbb{N}} la suite définie par v_0=1 et pour tout n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=\sqrt{v_n+1}.

Comme v_1=f(v_0), on a donc besoin de v_0 sur l'axe des abscisses pour pouvoir placer v_1 sur l'axe des ordonnées.

De même, v_2=f(v_1). On a donc besoin de v_1 sur l'axe des abscisses.

La droite d'équation y=x permet de relier facilement les points de coordonnées (0;v_1), (v_1;v_1) et (v_1;0) et ainsi de placer v_1 sur l'axe des abscisses.

On poursuit avec la même méthode pour les termes suivants.

II

Les suites arithmétiques et géométriques

Deux types de suites sont particulières : les suites arithmétiques (on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre) et les suites géométriques (on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre).

A

Les suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite pour laquelle on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r appelé raison. Une suite arithmétique est monotone, et on peut calculer simplement la somme de ses termes consécutifs.

1

Définition d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est définie par son premier terme  u_0  et sa raison r. On connaît alors sa relation de récurrence ainsi que la valeur de son terme général.

Suite arithmétique

Une suite \left( u_n\right) est dite arithmétique lorsqu'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini, on a :

u_{n+1}=u_n+r

Le réel r est appelé la raison de la suite.

La suite suivante est une suite arithmétique de raison r=−2 : \begin{cases}u_0=5\\u_{n+1}=u_n−2,\text{ pour tout } n\in\mathbb{N}\end{cases}

Si une suite \left( u_n\right) est arithmétique, la différence u_{n+1}-u_n entre deux termes consécutifs est constante et est égale à la raison r :

\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=r

Soit un livret avec un taux d'intérêt simple annuel de 5 %.

On place un capital de 100 €.

Tous les ans, les intérêts sont calculés sur ce capital de départ :

100\times \dfrac{5}{100}=5

En notant u_n le montant sur le livret au bout de n années.

On a donc u_0=100, u_1=105, u_2=110, etc., et plus généralement u_{n+1}=u_n+5 pour tout n\in\mathbb{N}.

La suite (u_n) ainsi définie est donc une suite arithmétique de raison 5.

Si \left( u_n\right) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p

u_n=u_p + (n-p)\times r

Soit u une suite arithmétique de raison r=−6 telle que u_5 = 15. Alors pour tout n

u_n=u_5 + (n−5)\times r = 15 + (n−5)\times (−6)

Soit une suite u arithmétique de raison r définie à partir d'un entier n_0.

Soient n et p deux entiers tels que n\geq p\geq n_0.

On peut donc écrire :

\begin{aligned} u_{p+1}&=u_p+r \\ u_{p+2}&=u_{p+1}+r \\ ...&=... \\ u_n&=u_{n−1}+r \end{aligned}

En additionnant membre à membre ces égalités, on obtient :

u_n+u_{n−1}+...+u_{p+2}+u_{p+1}=u_{n−1}+...+u_{p+1}+u_p+(n-p)r

soit u_n=u_p+(n-p)r.

Si \left( u_n\right) est une suite arithmétique de raison r, définie pour n\geq0, alors pour tout entier naturel n, on a  :

u_n=u_0+nr

Soit u la suite définie par u_0=5 et u_{n+1}=u_n+2, pour tout n\in\mathbb{N}.

Alors la suite u est arithmétique de raison r=2.

Pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=u_0+nr, soit u_n=5+2n.

Ces propriétés donnent une forme explicite d'une suite initialement définie par une relation de récurrence. L'expression obtenue est du type u_n=f(n)f est une fonction affine. Il n'y a, en fait, que les suites arithmétiques qui vérifient cette propriété.

2

Le sens de variation d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est monotone. Elle est croissante si sa raison et positive, et décroissante si sa raison est négative.

Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique de raison r. La suite \left( u_n\right) est croissante si, et seulement si, r\geq 0.

Soit u la suite définie par u_0=5 et u_{n+1}=u_n+2, pour tout n\in\mathbb{N}.

Alors la suite u est arithmétique de raison r=2.

Comme r\geq0, la suite u est croissante.

En remplaçant r\geq 0 par r>0 dans la propriété précédente, on obtient une suite strictement croissante.

La suite u définie par u_0=5 et u_{n+1}=u_n+2, pour tout n\in\mathbb{N} est même strictement croissante car r=2 >0.

Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique de raison r. La suite \left( u_n\right) est décroissante si, et seulement si, r\leq 0.

Soit u la suite définie par u_0=45 et u_{n+1}=u_n−3, pour tout n\in\mathbb{N}.

Alors la suite u est arithmétique de raison r=−3.

Comme r\leq0, la suite u est décroissante.

En remplaçant r\leq 0 par r<0 dans la propriété précédente, on obtient une suite strictement décroissante.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

\sum_{k=1}^n k=1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

La suite u définie par u_0=45 et u_{n+1}=u_n−3, pour tout n\in\mathbb{N} est même strictement décroissante car r=−3<0.

Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique de raison r. La suite \left( u_n\right) est constante si, et seulement si, r=0.

Soit u la suite définie par u_0=3 et u_{n+1}=u_n, pour tout n\in\mathbb{N}.

Alors la suite u est arithmétique de raison r=0.

Comme r=0, la suite u est constante.

3

La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

\sum_{k=1}^{n}k=\text{1 + 2 +...+ n}=\dfrac{n(n+1)}{2}

La somme des entiers de 1 à 100 vaut :

\sum_{k=1}^{100}k=\text{1 + 2 +...+ 99 + 100}=\dfrac{100\times 101}{2}=5050

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

On note S la somme \sum_{k=1}^n k=1+2+...+(n−1)+n.

On a également S=\sum_{k=1}^n (n-k+1)=n+(n−1)+...+2+1.

En additionnant les deux sommes, on obtient :

2S=\underbrace{(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)}_{n\text{ fois}},

soit 2S=n(n+1), d'où S=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Soit (u_n)_{n>n_0} une suite arithmétique telle que \forall n>n_0,\,u_n = (n-n_0)\times r + u_{n_0} alors pour tout N>n_0 :

\sum_{k=n_0}^N u_k = \dfrac{(u_{n_0} + u_N)\times (N-n_0+1)}{2}

Soit (u_n) la suite arithmétique de premier terme u_0=5 et de raison r=2.

Déterminons la somme des 20 premiers termes de cette suite.

L'idée est d'écrire la somme cherchée et de faire apparaître une somme des premiers entiers naturels.

On cherche à calculer : S=\sum_{k=0}^{19}u_k=u_0+u_1+...+u_{18}+u_{19}.

Pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=u_0+n\times r=5+2n, car la suite (u_n) est arithmétique.

Ainsi, S=5+(5+2\times 1)+(5+2\times 2)+...+(5+2\times 18)+(5+2\times 19).

Donc, S=\underbrace{5+5+...+5+5}_{20\text{ fois}}+2\times (1+2+...+18+19).

On reconnaît 1+2+... +19. C'est la somme des 19 premiers entiers naturels. On obtient donc :

S=20\times 5+2\times \dfrac{19\times 20}{2}

S=100+380=480

L'expression de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique u peut s'écrire plus simplement en français : 

\sum u_k = \dfrac{(\text{premier terme} + \text{dernier terme})\times \text{nombre de termes}}{2}

La somme 1+2+…+n correspond à la somme des n premiers termes de la suite arithmétique du premier terme 1 et de raison r=1.

B

Les suites géométriques

Une suite géométrique est une suite pour laquelle on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours le même nombre réel q appelé raison. La monotonie d'une suite géométrique dépend de la valeur de q, et on peut calculer simplement la somme de ses termes consécutifs.

1

Définition d'une suite géométrique

Une suite géométrique est définie par son premier terme u_0  et sa raison q. On connaît alors sa relation de récurrence ainsi que la valeur de son terme général.

Suite géométrique

Une suite \left( u_n\right) est dite géométrique lorsqu'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini, on a : u_{n+1}=u_n \times q

Le réel q est appelé la raison de la suite.

La suite suivante est une suite géométrique de raison q= \frac{1}{2}: \begin{cases}v_0=5\\v_{n}=v_{n−1}\times \dfrac{1}{2},\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}^{\star}\end{cases}

On ne considère que des suites géométriques dont aucun terme n'est nul. Sinon, la suite étudiée est simplement la suite nulle.

Si c'est bien le cas, une suite \left( u_n\right) est géométrique si, et seulement si, le quotient de deux termes consécutifs est constant.

On considère également uniquement des suites géométriques de raison non nulle. Sinon tous les termes de la suites sont nuls au moins à partir du deuxième terme.

Le taux d'évolution entre deux termes consécutifs d'une géométrique est constant.

En effet, si (u_n) est une suite géométrique de raison q\neq 0 définie à partir d'un rang n_0, avec u_{n_0}\neq 0.

Alors, pour tout n\geq n_0, le taux d'évolution entre deux termes consécutifs u_n et u_{n+1} est :

\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}=\dfrac{q\times u_n-u_n}{u_n}=\dfrac{(q−1)u_n}{u_n}=q−1

La raison d'une suite géométrique est en fait le coefficient multiplicateur entre deux termes consécutifs et ce coefficient multiplicateur est constant.

Imaginons un livret avec un taux d'intérêt composé annuel de 1,25 %.

On place un capital de 100 €.

Tous les ans, les intérêts sont calculés sur le capital obtenu à l'issue de l'année.

On rappelle qu'augmenter de 1,25 % revient à multiplier par \left( 1+\dfrac{1{,}25}{100}\right), soit 1,0125.

On note u_n le montant sur le livret au bout de n années.

On a donc u_0=100, u_1=100\times 1{,}0125=101{,}25, u_2=101{,}25\times 1{,}0125=102{,}515625\approx 102{,}52, etc., et plus généralement u_{n+1}=u_n\times 1{,}0125 pour tout n\in\mathbb{N}.

La suite (u_n) ainsi définie est une suite géométrique de raison q = 1{,}0125 .

Si \left( u_n\right) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p :

u_n=u_p\times q^{n-p}

Soit u une suite géométrique de raison q=3 telle que u_6 = 9. Alors pour tout n

u_n=u_6 \times q^{n−6} = 9\times 3^{n−6} 

Soit une suite u géométrique de raison q définie à partir d'un entier n_0.

Soit n et p deux entiers tels que n\geq p\geq n_0.

On peut donc écrire :

\begin{aligned} u_{p+1}&=u_p\times q \\ u_{p+2}&=u_{p+1}\times q \\ ...&=... \\ u_n&=u_{n−1}\times q \end{aligned}

En multipliant membre à membre ces égalités, on obtient :

u_n\times u_{n−1}\times ...\times u_{p+2}\times u_{p+1}=u_{n−1}\times ...\times u_{p+1}\times u_p\times q^{n-p}

soit u_n=u_p\times q^{n-p}.

Si p=0, pour tout entier naturel n, on a u_n=u_0\times q^n.

Soit u une suite géométrique de raison q=2 telle que u_0 = 1. Alors pour tout n

u_n=u_0 \times q^{n} = 2^{n} 

2

Le sens de variation d'une suite géométrique

Suivant la valeur de sa raison, une suite géométrique est croissante, décroissante ou non monotone.

Soit q un réel non nul. Soit \left( u_n\right) la suite définie pour tout entier naturel n par u_n=q^n.

Si q<0, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} n'est pas monotone.

On considère la suite u définie par \forall n\in\mathbb{N}, \, u_n = (-1)^n.

On remarque que u_0 = 1u_1 = −1u_2= 1u_3 = −1, etc. La suite n'est donc pas monotone.

Soit q un réel non nul. Soit \left( u_n\right) la suite définie pour tout entier naturel n par u_n=q^n.

Si 0<q\leq1, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est décroissante.

On considère la suite u définie par \forall n \in \mathbb{N},\, u_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n

Alors la suite u est géométrique de raison r=\dfrac{1}{2}.

Comme 0<r\leq1, la suite u est décroissante.

En remplaçant 0<q\leq 1 par 0<q< 1 dans la propriété précédente, on obtient une suite strictement décroissante.

La suite u définie par \forall n \in \mathbb{N},\, u_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n est en fait strictement décroissante car 0<q<1.

Soit q un réel non nul. Soit \left( u_n\right) la suite définie pour tout entier naturel n par u_n=q^n.

Si q\geq1, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante.

On considère la suite u définie par \forall n \in \mathbb{N},\, u_n = 3^n.

Alors la suite \u\) est géométrique de raison q = 3

Comme q = 3\geq1, la suite est croissante.

En remplaçant q\geq1 par q> 1 dans la propriété précédente, on obtient une suite strictement croissante.

La suite u définie par \forall n \in \mathbb{N},\, u_n = 3^n est en fait strictement croissante car q>1.

Soit q un réel non nul. Soit \left( u_n\right) la suite définie pour tout entier naturel n par u_n=q^n.

Si q=1, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est constante et vaut 1.

Pour une suite géométrique quelconque, \left( u_n\right), on a, pour tout entier naturel n, u_n=u_0\times q^n (si la suite est définie pour tout entier naturel).

  • Si u_0>0, la suite \left( u_n\right) a le même sens de variation que la suite (q^n).
  • Si u_0<0, la suite \left( u_n\right) a le sens de variation opposé à celui de la suite (q^n).

On reprend la suite  \begin{cases}v_0=5\\v_{n}=v_{n−1}\times \dfrac{1}{2},\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}^{\star}\end{cases}

On note q sa raison.

Comme v_0=5 et q=\dfrac{1}{2}, on a donc v_0>0 et 0<q<1.

La suite (v_n) est donc strictement décroissante.

3

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Soit un réel q\neq 1 et soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Alors :

\sum_{k=0}^n q^k=1+q+...+q^{n−1}+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Déterminons la somme S=1+\dfrac{1}{2}+\left( \dfrac{1}{2}\right)^2+...+\left( \dfrac{1}{2}\right)^{10}.

D'après la formule précédente, on obtient :

S=1+\dfrac{1}{2}+\left( \dfrac{1}{2}\right)^2+...+\left( \dfrac{1}{2}\right)^{10}

S=\dfrac{1-\left( \dfrac{1}{2}\right)^{11}}{1-\dfrac{1}{2}}

S=\dfrac{1-\dfrac{1}{2^{11}}}{\dfrac{1}{2}}

S =2\left(1-\dfrac{1}{2^{11}}\right)

Soit un réel q\neq 1 et soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

On note S la somme cherchée.

On a : S=\sum_{k=0}^n q^k=1+q+...+q^{n−1}+q^n.

Alors : qS=q\sum_{k=0}^n q^k=q+q^2+...+q^{n}+q^{n+1}.

Par conséquent, S-qS=1-q^{n+1}, soit (1-q)S=1-q^{n+1}.

Comme q\neq 1, on obtient S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.

Soit (u_n)_{n>n_0} une suite géométrique telle que \forall n>n_0,\,u_n = u_{n_0}\times q^{n-n_0} avec q\neq1.

\forall N>n_0, \, \sum_{k=n_0}^N u_k = u_{n_0} \times \dfrac{1-q^{N-n_0+1}}{1-q}

Soit (u_n) la suite géométrique de premier terme u_0=3 et de raison q=2.

Déterminons la somme des 10 premiers termes.

L'idée est d'écrire la somme cherchée et de faire apparaître une somme des q^k.

On cherche S=\sum_{k=0}^{9}u_k=u_0+u_1+...+u_8+u_9.

Comme la suite (u_n) est géométrique, pour tout n\in\mathbb{N}, on a :

u_n=u_0\times q^n=3\times 2^n

Ainsi, S=3\times 1+3\times 2^1+3\times 2^2+...+3\times 2^8+3\times 2^9.

En factorisant par 3, on obtient :

S=3\left( 1+2^1+2^2+...+2^8+2^9\right)

On reconnaît une somme du type 1+q+... +q^9 avec q=2.

On obtient donc :

S=3\times \dfrac{1−2^{10}}{1−2},

soit S=3069.

L'expression de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique u peut s'écrire plus simplement en français : 

\sum u_k = \text{premier terme} \times \dfrac{1-q^\text{nombre de termes}}{1-q}

La somme 1+q+...+q^{n−1}+q^n correspond la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison q.

III

Introduction de la notion de limite d'une suite

La limite d'une suite est la valeur de laquelle les termes de la suite se rapprochent lorsque n est de plus en plus grand.

Les théorèmes concernant la limite d'une suite ne seront pas étudiés en classe de première. On peut par contre conjecturer une limite à l'aide de l'étude des termes d'une suite quand n devient grand.

Soit (u_n) une suite définie à partir d'un rang n_0. Il y a trois conjectures possibles pour la limite de la suite u

  • Lorsque les termes u_n deviennent aussi grands que l'on veut dès que l'indice n est suffisamment grand, on dit que la suite (u_n) tend vers +\infty et on note \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty.
  • Lorsque les termes u_n deviennent aussi petits que l'on veut dès que l'indice n est suffisamment grand, on dit que la suite (u_n) tend vers -\infty et on note \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty.
  • Lorsque les termes u_n deviennent aussi proches que l'on veut d'une réel \ell dès que l'indice n est suffisamment grand, on dit que la suite (u_n) tend vers \ell et on note \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell.

On considère la suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=n^2.

On détermine les premiers termes en utilisant un tableur.

On obtient :

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En poursuivant, on obtient u_{100}=10000, u_{500}=250000, etc.

Les termes u_n semblent devenir aussi grands que l'on veut dès que n est suffisamment grand.

On peut penser que \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty.

On peut écrire un programme permettant de déterminer le premier indice pour lequel le terme u_n vérifie u_n>LL est un réel choisi par l'utilisateur. Un tel algorithme est appelé algorithme de seuil.

Le programme suivant, écrit en langage Python, correspond à un algorithme de seuil pour la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} telle que \forall n \in \mathbb{N}, u_n = n^2.

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