Suites numériquesCours

I

Généralités sur les suites numériques

A

Vocabulaire

Une suite numérique (u_n) est une succession de termes u_n  où n est un entier naturel.

Suite numérique réelle 

Une suite numérique réelle est une fonction u qui à tout entier naturel n (ou tout entier supérieur à un certain entier naturel n_0), associe un réel :

\bf u : n \mapsto u(n)

La fonction qui à tout entier naturel n associe son double est une suite. On a alors :

u:n\longmapsto2n

Dans ce cas :

  • u(0)=2\times0=0\\
  • u(1)=2\times1=2
  • u(2)=2\times2=4  
  • u(3)=2\times3=6

Terme d'indice n

Soit n un entier naturel. Le terme d'indice n d'une suite  (u_n) est  u_n.

On considère la suite u définie de la façon suivante :

\forall n \in \mathbb{N}u_n = 2n

Dans ce cas :

  • Le terme d'indice 1 est  u(1)=2.
  • Le terme d'indice 2 est  u(2)=4.
  • Une suite est notée u ou  (u_n).
  • Le terme d'indice n de la suite est noté  u_n  ou u(n).

Il ne faut pas confondre « terme » et « indice ».

Dans l'écriture u_5 = 25 :

  • le terme vaut 25 
  • l'indice est 5

Il ne faut pas confondre u_{n+1}  et u_n+1

u_{n+1} est le terme d'indice n+1, alors que u_n+1 est le terme de rang n augmenté de 1.

Soit (u_n)  la suite définie par :

\forall n\in \mathbb{N}, u_n = n^2

Alors pour n=5 :

  • u_{n+1} = u_6 = 36
  • u_n+1 = u_5+1 = 25+1 = 26

On dit que (u_n) est la suite de terme général u_n.

Terme initial

Le terme initial d'une suite (u_n)  est u_{n_0}, où n_0 est le premier entier tel que le terme de la suite existe.

On considère la suite (v_n) définie par pour tout entier supérieur à 4 par v_n=\sqrt{n−4}.

Le terme initial de la suite (v_n) est v_4=\sqrt{4−4}=0.

Lorsqu'une suite u n'est pas définie pour tous les entiers naturels, on peut la noter (u_n)_{n\geq n_0}, où n_0 est le premier indice de la suite. En particulier, lorsqu'une suite n'est définie qu'à partir du terme n=1, on écrit (u_n)_{n\in\mathbb{N}^{\star}}.

On considère la suite (v_n) définie pour tout n>4 par v_n=\sqrt{n−4}.

Elle est notée (v_n)_{n\geq 4}.

Dans la majeure partie des cas, une suite est définie pour tout entier naturel n. Le terme initial est alors  u_0.

B

La définition d'une suite

Définir une suite, c'est donner une formule permettant de calculer tous ses termes. Une suite peut être définie de manière explicite (la valeur de chaque terme est directement donnée) ou par récurrence (la valeur d'un terme est donnée en fonction du terme précédent). Elle peut également être définie par un algorithme, ou par des motifs géométriques.

1

La définition explicite

Une suite est définie de manière explicite lorsque l'on connaît directement la valeur de n'importe quel terme  u_n en fonction de n.

Suite définie sous forme explicite

Une suite (u_n) définie sous forme explicite est donnée par son terme général u_n exprimé en fonction de n. On introduit alors une fonction f telle que :

\forall n \geqslant n_0u_n = f(n)

Soit la suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par :

\forall n \in \mathbb{N}u_n=2n−1

Cette suite est définie de façon explicite.

Pour tout entier naturel n, on a u_n=f(n)f est la fonction affine x\mapsto 2x−1.

Le calcul de chaque terme est direct. Par exemple, pour le terme d'indice 83 :

u_{83}=f(83)=2\times 83−1=165

2

La définition par récurrence

Lorsqu'une suite est définie par récurrence, on ne peut pas calculer directement la valeur du terme  u_n en fonction de n. On sait uniquement calculer la valeur du terme u_n  en fonction de celui qui précède.

Suite définie par récurrence

Une suite (u_n) définie par récurrence est donnée par son terme initial u_{n_0} et une relation reliant chaque terme au terme suivant. On introduit alors une fonction f telle que :

\begin{cases}u_{n_0} \in\mathbb{R} \\\forall n \geqslant n_0, u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}

On considère la suite u définie sur \mathbb{N} par : 

\begin{cases}u_0=2\\\forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=2u_n−1\end{cases}

On a, pour tout entier naturel nu_{n+1}=f(u_n)f est la fonction affine x\mapsto 2x−1.

On peut donc calculer les termes un à un :

  • u_1=f(u_0)=f(2)=2\times 2−1=3
  • u_2=f(u_1)=f(3)=2\times 3−1=5
  • u_3=f(u_2)=f(5)=2\times 5−1=9
  • etc.

Dans ce cas, pour calculer un terme de la suite, il faut avoir calculé au préalable le terme précédent.

3

La génération par un algorithme

Une suite peut être définie par un algorithme. Dans ce cas, l'algorithme prend comme entrée un entier naturel et renvoie un réel. L'entier naturel correspond à l'indice de la suite et le réel à la valeur du terme correspondant.

Le programme suivant (écrit en langage Python) définit une suite sur \mathbb{N} :

-

En notant u_n le résultat obtenu en exécutant f(n), on obtient :

-

L'algorithme donné correspond à la définition suivante de la suite u sur \mathbb{N} :

u_n=\begin{cases}\dfrac{n}{2},\text{ si }n\text{ est pair},\\2n−1,\text{ sinon}\end{cases}

4

La définition par des motifs géométriques

Une suite peut également être générée par des motifs géométriques. On applique alors la même transformation sur un motif géométrique donné. 

Le flocon de Von Koch est une figure géométrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral par réitération d'une transformation appliquée à chaque côté de la figure.

  • À l'étape 0 (figure de départ), la figure est un triangle équilatéral.
  • Pour passer d'une étape n (avec n\in\mathbb{N}) à la suivante (étape n+1), on remplace chaque côté du polygone par une ligne brisée de 4 segments de longueur égale au tiers de la longueur des côtés du polygone obtenu à l'étape n en appliquant le procédé suivant :
-

On obtient ainsi les polygones suivants :

-

Si à chaque étape on associe le nombre de côtés de la figure, on définit une suite sur \mathbb{N}.

En notant c_n le nombre de côtés de la figure obtenue à l'étape n (où n\in\mathbb{N}), on obtient :

  • c_0=3
  • c_1=12
  • c_2=48
  • c_3=144
  • etc.
C

Le sens de variation d'une suite

Une suite peut être soit croissante (ses termes sont de plus en plus grands), soit décroissante (ses termes sont de plus en plus petits). Si ce comportement fluctue, on dit que la suite n'est pas monotone.

Suite croissante

Soit la suite  (u_n)  définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est croissante si et seulement si :

\forall n \geqslant n_0, u_n\leq u_{n+1}

Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par : 

\begin{cases} u_{0} = 0\\ \forall n \in \mathbb{N},u_{n+1} = u_n+2\end{cases}  

On a :

\forall n \in \mathbb{N}u_{n+1}-u_n=u_n+2-u_n=2

Ainsi :

\forall n \in \mathbb{N}u_{n+1}-u_n\geqslant0

  \forall n \in \mathbb{N}u_{n+1}\geqslant u_n

La suite (u_n) est croissante.

Soit la suite  (u_n)  définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est strictement croissante si et seulement si :

\forall n \geqslant n_0 u_n\lt u_{n+1}

Suite décroissante

Soit la suite  (u_n)  définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est décroissante si et seulement si :

\forall n \geqslant n_0 , u_n\geq u_{n+1}

Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par : 

\begin{cases} u_{0} = 0\\ \forall n \in \mathbb{N},u_{n+1} = u_n-7\end{cases}  

On a :

\forall n \in \mathbb{N}u_{n+1}-u_n=u_n-7-u_n=-7

Ainsi :

\forall n \in \mathbb{N}u_{n+1}-u_n\leqslant0

  \forall n \in \mathbb{N}u_{n+1}\leqslant u_n

La suite (u_n) est décroissante.

 Soit la suite  (u_n)  définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est strictement décroissante si et seulement si :

\forall n \geqslant n_0 u_n\gt u_{n+1}  

Suite constante

Soit la suite  (u_n)  définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est constante si et seulement si :

\forall n \geqslant n_0 , u_n= u_{n+1}

Soit suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par :

\begin{cases} u_{0} = 0\\\forall n \in \mathbb{N},u_{n+1} = u_n\end{cases}  

(u_n) est constante car tous ses termes sont égaux. 

Suite monotone

Une suite u est monotone lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante.

D

La représentation graphique d'une suite

Une suite est représentée graphiquement par une succession de points de coordonnées (n, u_n). Suivant la manière dont une suite est définie (de manière explicite ou par récurrence), la méthode pour la représenter est différente.

1

La représentation graphique d'une suite définie sous forme explicite

Pour représenter une suite définie de manière explicite, on place directement tous les points  A_n de coordonnées (n,u_n).

Soit u une suite définie à partir d'un certain rang n_0 par u_n=f(n)f est une fonction définie sur \left[n_0;+\infty\right)

Pour tout n\geq n_0, u_n est l'ordonnée du point de la courbe représentative de f d'abscisse n.

Soit \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} la suite définie par u_n=\sqrt{n+1}.

On a alors, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=f(n) avec f:x\mapsto \sqrt{x+1}.

Pour tout entier naturel n, u_n est donc l'ordonnée du point d'abscisse n de la courbe représentative de f.

-
2

La représentation graphique d'une suite définie par récurrence

Lorsqu'une suite est définie par récurrence, on ne connait pas directement toutes les valeurs de u_n. Pour la représenter graphiquement, on doit placer les points un à un, dans l'ordre, en utilisant la droite d'équation y=x.

Soit u une suite définie par récurrence à partir d'un certain rang n_0 par u_{n+1}=f(u_n), où f est une fonction définie sur un intervalle incluant les valeurs des termes de la suite. Pour tout n\geq n_0, u_{n+1} est l'ordonnée du point de la courbe de f d'abscisse u_n.

Soit \left( v_n\right)_{n\in\mathbb{N}} la suite définie par v_0=1 et pour tout n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=\sqrt{v_n+1}.

On a alors, pour tout n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=f(v_n) avec f:x\mapsto \sqrt{x+1}.

Pour tout entier naturel n, v_{n+1} est donc l'ordonnée du point d'abscisse v_n de la courbe de f.

Pour visualiser un terme sur l'axe des ordonnées, il faut donc déjà avoir le précédent sur l'axe des abscisses.

-

Pour placer les différents termes de la suite sur l'axe des abscisses, on peut utiliser la droite d'équation y=x qui permet de « ramener » sur l'axe des abscisses une valeur obtenue sur l'axe des ordonnées. La droite d'équation y=x permet de « passer » facilement d'un nombre qui est sur l'axe des ordonnées au même nombre sur l'axe des abscisses.

Soit \left( v_n\right)_{n\in\mathbb{N}} la suite définie par v_0=1 et pour tout n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=\sqrt{v_n+1}.

Comme v_1=f(v_0), on a donc besoin de v_0 sur l'axe des abscisses pour pouvoir placer v_1 sur l'axe des ordonnées.

De même, v_2=f(v_1). On a donc besoin de v_1 sur l'axe des abscisses.

La droite d'équation y=x permet de relier facilement les points de coordonnées (0;v_1), (v_1;v_1) et (v_1;0) et ainsi de placer v_1 sur l'axe des abscisses.

On poursuit avec la même méthode pour les termes suivants.

II

Les suites arithmétiques et géométriques

On étudie deux types de suites particulières : les suites arithmétiques (on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre) et les suites géométriques (on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre).

A

Les suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite pour laquelle on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r appelé raison. Une suite arithmétique est monotone, et on peut calculer simplement la somme de ses termes consécutifs.

1

Définition d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est définie par son premier terme  u_0  et sa raison r. On connaît alors sa relation de récurrence ainsi que la valeur de son terme général.

Suite arithmétique

Une suite \left( u_n\right) est dite arithmétique lorsqu'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini, on a :

u_{n+1}=u_n+r

Le réel r est appelé la raison de la suite.

Soit  (u_n)  définie par :

\begin{cases}u_0=5\\\forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n−2\end{cases}

(u_n) est une suite arithmétique de raison r=−2

Soit un livret avec un taux d'intérêt simple annuel de 5 %. On y place un capital de 100 €.

Tous les ans, les intérêts sont calculés sur ce capital de départ :
100\times \dfrac{5}{100}=5

En notant u_n le montant sur le livret au bout de n années. On a donc :

  • u_0=100
  • u_1=105
  • u_2=110
  • etc.

Plus généralement, pour tout n\in\mathbb{N} :
u_{n+1}=u_n+5

La suite (u_n) ainsi définie est donc une suite arithmétique de raison 5.

Si une suite \left( u_n\right) est arithmétique, la différence u_{n+1}-u_n entre deux termes consécutifs est constante et est égale à la raison r :

\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=r

Si \left( u_n\right) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p tels que n\geqslant p  : 

u_n=u_p + (n-p)\times r

Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r=−6 telle que u_5 = 15. Alors :

\forall n \in \mathbb{N}u_n=u_5 + (n−5)\times r = 15 + (n−5)\times (−6)

Soit une suite u arithmétique de raison r définie à partir d'un entier n_0.

Soient n et p deux entiers tels que n\geq p\geq n_0. On peut donc écrire :

u_{p+1}=u_p+r

u_{p+2}=u_{p+1}+r

...

u_n=u_{n−1}+r

En additionnant membre à membre les égalités précédentes, on obtient :

u_n+u_{n−1}+...+u_{p+2}+u_{p+1}=u_{n−1}+...+u_{p+1}+u_p+(n-p)r

Soit :

u_n=u_p+(n-p)r

Soit \left( u_n\right) est une suite arithmétique de raison r, définie pour n\geq0. On obtient alors la définition explicite de \left( u_n\right) :

\forall n \in \mathbb{N}u_n=u_0+nr

Soit (u_n) la suite arithmétique définie par :

\begin{cases} u_0=5 \cr \cr \forall n \in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n+2 \end{cases}

On peut alors écrire :

\forall n\in\mathbb{N}, u_n=u_0+nr

\forall n\in\mathbb{N}, u_n=5+2n

L'écriture explicite d'une suite arithmétique est du type u_n=f(n)f est une fonction affine. Il n'y a que les suites arithmétiques qui vérifient cette propriété.

2

Le sens de variation d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est monotone. Elle est croissante si sa raison est positive, et décroissante si sa raison est négative.

Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique de raison r. \left( u_n\right) est croissante si, et seulement si, r\geq 0.

Soit (u_n) la suite définie par :

\begin{cases} u_0=5 \cr \cr \forall n \in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n+2 \end{cases}

(u_n) est une suite arithmétique de raison r=2.

Comme r\geq0, alors (u_n) est croissante.

En remplaçant r\geq 0 par r>0 dans la propriété précédente, on obtient une suite strictement croissante.

Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique de raison r. \left( u_n\right) est décroissante si, et seulement si, r\leq 0.

Soit (u_n) la suite définie par :

\begin{cases} u_0=4 \cr \cr \forall n \in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n-3 \end{cases}

(u_n) est une suite arithmétique de raison r=−3.

Comme r\leq0, alors (u_n) est décroissante.

En remplaçant r\leq 0 par r<0 dans la propriété précédente, on obtient une suite strictement décroissante.

Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique de raison r. \left( u_n\right) est constante si, et seulement si, r= 0.

Soit (u_n) la suite définie par :

\begin{cases} u_0=4 \cr \cr \forall n \in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n \end{cases}

(u_n) est une suite arithmétique de raison r=0.

(u_n) est constante.

3

La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

\sum_{k=1}^{n}k=\text{1 + 2 +...+ n}=\dfrac{n(n+1)}{2}

La somme des entiers de 1 à 100 vaut :

\sum_{k=1}^{100}k=\text{1 + 2 +...+ 99 + 100}=\dfrac{100\times 101}{2}=5050

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.

On note S la somme \sum_{k=1}^n k=1+2+...+(n−1)+n.

On a également :

S=\sum_{k=1}^n (n-k+1)=n+(n−1)+...+2+1.

En additionnant les deux sommes, on obtient :

2S=\underbrace{(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)}_{n\text{ fois}}

Soit :

2S=n(n+1)

D'où

S=\dfrac{n(n+1)}{2}

Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme  u_0  et de raison r. Alors, pour tout n>n_0 :

\sum_{k=n_0}^n u_k = \dfrac{(u_{n_0} + u_n)\times (n-n_0+1)}{2}

Soit (u_n) la suite arithmétique de premier terme u_0=5 et de raison r=2.

On cherche à calculer :

S=\sum_{k=0}^{19}u_k=u_0+u_1+...+u_{18}+u_{19}

Comme la suite est arithmétique, on a :

S=\dfrac{(u_0+u_{19})(19-0+1)}{2}

Or :

\forall n\in\mathbb{N}, u_n=u_0+n\times r=5+2n

Ainsi :

u_{19}=5+2\times19=43

Donc :

S=\dfrac{(5+43)(20)}{2}

S=480

L'expression de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique u peut s'écrire plus simplement en français : 

\bf \sum u_k = \dfrac{(\text{premier terme} + \text{dernier terme})\times \text{nombre de termes}}{2}

La somme 1+2+…+n correspond à la somme des n premiers termes de la suite arithmétique du premier terme 1 et de raison r=1.

B

Les suites géométriques

Une suite géométrique est une suite pour laquelle on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours le même nombre réel q appelé raison. La monotonie d'une suite géométrique dépend de la valeur de q, et on peut calculer simplement la somme de ses termes consécutifs.

1

Définition d'une suite géométrique

Une suite géométrique est définie par son premier terme u_0  et sa raison q. On connaît alors sa relation de récurrence ainsi que la valeur de son terme général.

Suite géométrique

Une suite \left( u_n\right) est dite géométrique lorsqu'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini, on a :

u_{n+1}=u_n \times q

Le réel q est appelé la raison de la suite.

Soit  (u_n)  définie par :

\begin{cases}u_0=5\\\forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_{n}\times \dfrac{1}{2}\end{cases}

(u_n) est une suite géométrique de raison q= \frac{1}{2}

  • Si le premier terme d'une suite géométrique est nul, alors tous ses termes sont nuls.
  • Si la raison d'une suite géométrique est nulle, alors tous ses termes à partir du 2e terme sont nuls.

Soit (u_n) est une suite géométrique de raison q\neq 0 définie à partir d'un rang n_0, avec u_{n_0}\neq 0. Pour tout n\geq n_0, on a :

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q

Soit (u_n) est une suite géométrique de raison q\neq 0 définie à partir d'un rang n_0, avec u_{n_0}\neq 0. Pour tout n\geq n_0, le taux d'évolution entre deux termes consécutifs u_n et u_{n+1} est constant et égal à :

\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}=q−1

La raison d'une suite géométrique est le coefficient multiplicateur entre deux termes consécutifs. Pour passer d'un terme au suivant, on le multiplie par la raison.

Un livret bancaire a un taux d'intérêt composé annuel de 1,25 %. On y place un capital de 100 €. Tous les ans, les intérêts sont calculés sur le capital obtenu à l'issue de l'année. On note u_n le montant sur le livret au bout de n années.

Ainsi, on a :

u_{0}=100

Par ailleurs, augmenter un nombre de 1,25 % revient à le multiplier par \left( 1+\dfrac{1{,}25}{100}\right). Ainsi :

\forall n \in \mathbb{N}u_{n+1}=1{,}0125\times u_n

La suite (u_n) ainsi définie est une suite géométrique de premier terme u_{0}=100  raison q = 1{,}0125 .

Si \left( u_n\right) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p :

u_n=u_p\times q^{n-p}

Soit u une suite géométrique de raison q=3 telle que u_6 = 9. Alors :

\forall n\in\mathbb{N}, u_n=u_6 \times q^{n−6} 

\forall n\in\mathbb{N}, u_n= 9\times 3^{n−6} 

Soit une suite u géométrique de raison q définie à partir d'un entier n_0.

Soit n et p deux entiers tels que n\geq p\geq n_0.

On peut donc écrire :

u_{p+1}=u_p\times q

u_{p+2}=u_{p+1}\times q

...

u_n=u_{n−1}\times q

En multipliant membre à membre ces égalités, on obtient :

u_n\times u_{n−1}\times ...\times u_{p+2}\times u_{p+1}=u_{n−1}\times ...\times u_{p+1}\times u_p\times q^{n-p}

Soit :

u_n=u_p\times q^{n-p}

En particulier, on peut écrire l'écriture explicite d'une suite lorsque l'on connaît son premier terme et sa raison :

\forall n \in \mathbb{N}u_n=u_0\times q^n

Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0 = 1 et de raison q=2. Alors on connaît l'écriture explicite de (u_n) :

\forall n \in \mathbb{N}u_n=u_0 \times q^{n} = 2^{n} 

2

Le sens de variation d'une suite géométrique

Suivant la valeur de sa raison q, une suite géométrique est croissante, décroissante, constante ou non monotone.

Soit q un réel non nul. Soit \left( u_n\right) la suite définie par :

\forall n \in \mathbb{N}u_n=q^n

La monotonie de  (u_n)  dépend de la valeur de q :

  • Si q<0, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} n'est pas monotone.
  • Si 0<q\leq1, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est décroissante.
  • Si q\geq1, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante.
  • Si q=1, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est constante et vaut 1.

On considère la suite (u_n) définie par :

\forall n\in\mathbb{N}, \, u_n = (-1)^n

(u_n) est de la forme q^n  avec  q=-1(u_n) n'est donc pas monotone.

On considère la suite (u_n) définie par :

\forall n\in\mathbb{N}   u_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n

(u_n) est de la forme q^n  avec  q=\dfrac{1}{2}.

Comme 0<q\leq1, la suite (u_n) est décroissante.

Soit \left( u_n\right) une suite géométrique de raison q et de premier terme  u_{n_0}.

  • Si u_{n_0}\gt0, la suite \left( u_n\right) a le même sens de variation que la suite (q^n).
  • Si u_{n_0}\lt0, la suite \left( u_n\right) a le sens de variation opposé à celui de la suite (q^n).

Soit la suite  (v_n)  définie par :  

\begin{cases}v_0=5\\\forall n \in \mathbb{N},v_{n+1}=v_{n}\times \dfrac{1}{2}\end{cases}

(v_n)  est une suite géométrique de premier terme  v_0=5  et de raison  q=\dfrac{1}{2}. On a :

  • v_0\gt0, donc la suite  (v_n)  a le même sens de variation que la suite  \left( \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right).
  • 0\lt \dfrac{1}{2} \leq 1  donc la suite  \left( \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right)  est décroissante.

La suite (v_n) est donc décroissante.

3

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

On sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.

Soit un réel q\neq 1 et soit n un entier naturel supérieur ou égal à 0. Alors :

\sum_{k=0}^n q^k=1+q+...+q^{n−1}+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

On cherche à calculer :

S=1+\dfrac{1}{2}+\left( \dfrac{1}{2}\right)^2+...+\left( \dfrac{1}{2}\right)^{10}

D'après la formule précédente, on obtient :

S=\dfrac{1-\left( \dfrac{1}{2}\right)^{11}}{1-\dfrac{1}{2}}

S=\dfrac{1-\dfrac{1}{2^{11}}}{\dfrac{1}{2}}

S =2\left(1-\dfrac{1}{2^{11}}\right)

Soit un réel q\neq 1 et soit n un entier naturel supérieur ou égal à 0.

On note :

S=\sum_{k=0}^n q^k=1+q+...+q^{n−1}+q^n

Alors :

qS=q\sum_{k=0}^n q^k=q+q^2+...+q^{n}+q^{n+1}

Par conséquent : 

S-qS=1-q^{n+1}, soit (1-q)S=1-q^{n+1}

Comme q\neq 1, on obtient :

S=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Soit (u_n)_{n>n_0} une suite géométrique de raison q avec q\neq1. Alors :

\forall n>n_0, \, \sum_{k=n_0}^n u_k = u_{n_0} \times \dfrac{1-q^{n-n_0+1}}{1-q}

Soit (u_n) la suite géométrique de premier terme u_0=3 et de raison q=2. On cherche à calculer :

S=\sum_{k=0}^{9}u_k=u_0+u_1+...+u_8+u_9

Comme (u_n) est géométrique de raison q=2, on obtient :

S=u_0\times\dfrac{1-2^{9-0+1}}{1-2}

S=3\times\dfrac{1-2^{10}}{-1}

S=-3 (1-2^{10})

L'expression de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique u peut s'écrire plus simplement en français : 

\bf \sum u_k = \text{premier terme} \times \dfrac{1-q^\text{nombre de termes}}{1-q}

La somme 1+q+...+q^{n−1}+q^n correspond la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme u_0=1  et de raison q.

III

Introduction de la notion de limite d'une suite

La limite d'une suite est la valeur vers laquelle les termes de la suite se rapprochent lorsque n est de plus en plus grand.

Les théorèmes concernant la limite d'une suite ne seront pas étudiés en classe de première. On se contente de conjecturer la limite d'une suite à l'aide de l'étude de ses termes  u_n lorsque n devient grand.

Soit (u_n) une suite définie à partir d'un rang n_0. Il y a trois conjectures possibles pour la limite de la suite u :

  • Lorsque, dès que l'indice n est suffisamment grand, les termes u_n deviennent aussi grands que l'on veut, on dit que la suite (u_n) tend vers +\infty et on note \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty.
  • Lorsque, dès que l'indice n est suffisamment grand, les termes u_n deviennent aussi petits que l'on veut, on dit que la suite (u_n) tend vers -\infty et on note \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty.
  • Lorsque, dès que l'indice n est suffisamment grand, les termes u_n se rapprochent de plus en plus réel \ell, on dit que la suite (u_n) tend vers \ell et on note \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell.

On considère la suite u définie sur \mathbb{N} par :

\forall n \in \mathbb{N}u_n=n^2

On détermine les premiers termes en utilisant un tableur. On obtient :

-

En poursuivant, on obtient :

  • u_{100}=10000
  • u_{500}=250000
  • etc.

Les termes u_n semblent devenir aussi grands que l'on veut dès que n est suffisamment grand.

On peut penser que \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty.

On peut écrire un programme permettant de déterminer le premier indice pour lequel le terme u_n vérifie u_n>LL est un réel choisi par l'utilisateur. Un tel algorithme est appelé algorithme de seuil.

Le programme suivant, écrit en langage Python, correspond à un algorithme de seuil pour la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} telle que \forall n \in \mathbb{N}, u_n = n^2.

-

Questions fréquentes

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