Calculer un produit scalaire à l'aide de projetés orthogonaux dans l'espaceExercice

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr −1 \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 3 \cr\cr −3 \end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 5 \cr\cr −5 \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).

Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} −2 \cr\cr −5 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} −3 \cr\cr −7 \cr\cr 1\end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 13 \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).

Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 3 \cr\cr −2 \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 − \sqrt{6} \cr\cr −2 + \sqrt{2} \end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} 5- \sqrt{2} \cr\cr 3-\sqrt{3} \cr\cr −1 \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).

Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3} \cr\cr -\dfrac{9}{2} \cr\cr \dfrac{8}{3} \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} \dfrac{10}{3} \cr\cr -\dfrac{11}{2} \cr\cr \dfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} \dfrac{7}{3} \cr\cr −4 \cr\cr \dfrac{10}{3} \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).

Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} \cr\cr \dfrac{1}{6} \cr\cr -\dfrac{1}{12} \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr \dfrac{1}{2} \cr\cr -\dfrac{3}{4} \end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} -\dfrac{11}{2} \cr\cr -\dfrac{1}{6} \cr\cr \dfrac{7}{12} \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).

Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?