On considère les points :
A \: (4;2;2)
B \: (-9;-10;2)
Quelle équation du plan médiateur du segment [AB] peut-on déterminer ?
Rappel : Le plan médiateur d'un segment est l'ensemble des points à équidistance des deux extrémités d'un segment.
Soit M \: (x;y;z) un point du plan médiateur.
On sait que :
MA=MB \Leftrightarrow MA²=MB² car les longueurs sont toujours positives.
MA^2=MB^2\Leftrightarrow \left\|MA\right\| ^2 = \left\|MB\right\|^2 \Leftrightarrow (x_A-x)^2+(y_A-y)^2+(z_A-z)^2 = (x_B-x)^2+(y_B-y)^2+(z_B-z)^2 \Leftrightarrow (4-x)^2+(2-y)^2+(2-z)^2=(-9-x)^2+(-10-y)^2+(2-z)^2 \Leftrightarrow 16 -8x +x^2+4-4y+y^2+4-4z+z^2=81+18x+x^2+100+20y+y^2+4-4z+z^2 \Leftrightarrow 26x+24y+161=0
L'équation cartésienne du plan médiateur du segment [AB] est donc : 26x+24y+161=0.
Le milieu de [AB] appartient-il au plan médiateur ?
On note I le milieu de [AB].
On calcule les coordonnées de I :
\begin{pmatrix} \dfrac{x_A+x_B}{2} \cr \dfrac{y_A+y_B}{2}\cr \dfrac{z_A+z_B}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{4-9}{2} \cr \dfrac{2-10}{2} \cr \dfrac{2+2}{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} \cr -4 \cr 2 \end{pmatrix}
I a pour coordonnées \begin{pmatrix}- \dfrac{5}{2} \cr -4\cr 2 \end{pmatrix} .
Vérifions si I appartient au plan médiateur :
26\times \dfrac{-5}{2} +24 \times (-4) +161=-65-96+161=0
On a bien :
26x_I+24y_I+161=0
I appartient donc au plan médiateur de [AB].
Quelle est la position relative de (AB) et du plan P, plan médiateur de [AB] ?
De manière évidente, le plan P et la droite (AB) sont sécants car le milieu du segment [AB] appartient à P d'après la question précédente.
On étudie donc l'orthogonalité de P et de (AB).
D'après le cours, une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un de ses vecteurs directeurs est un vecteur normal du plan.
Ici, un vecteur directeur de (AB) est \overrightarrow{AB} \: \begin{pmatrix} x_B-x_A \cr y_B - y_A \cr z_B - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \cr -12 \cr 0 \end{pmatrix} .
On remarque que ce vecteur est colinéaire avec le vecteur \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 26 \cr 24\cr 0 \end{pmatrix} qui est un vecteur normal au plan P (on le lit grâce à l'équation cartésienne du plan P ).
Donc le vecteur \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de (AB).
Ainsi, on a bien un vecteur directeur de la droite (AB) qui est un vecteur normal au plan P.
(AB) est donc orthogonale au plan P.