Le produit scalaireCours

I

Le produit scalaire dans l'espace

Le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace est défini de la même manière que dans le plan, il possède les mêmes propriétés opératoires et permet de caractériser l'orthogonalité dans l'espace.

A

Une définition du produit scalaire dans l'espace

Le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace est défini de la même manière que dans le plan.

La norme d'un vecteur

Dans l'espace, une unité de longueur étant choisie, soit \overrightarrow{u} un vecteur et A et B deux points tels que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}.

On appelle norme du vecteur \overrightarrow{u} la longueur AB.

Soit ABCDEFGH un cube d'arête 5 unités.

Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour norme la longueur AB, soit 5.

Comme dans le plan, la norme d'un vecteur \overrightarrow{u} de l'espace est notée \Vert\overrightarrow{u}\Vert.

Le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace

Dans l'espace, une unité de longueur étant choisie, le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} est le réel noté :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}

défini par :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\Vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{u}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{v}\Vert^2\right)

ABCDEFGH est un cube d'arête 6 unités.

-

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\Vert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{AB}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{BC}\Vert^2\right)

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\Vert\overrightarrow{AC}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{AB}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{BC}\Vert^2\right)

Le triangle ABC est rectangle en B.

D'après le théorème de Pythagore, on a :
AC^2=AB^2+BC^2
AC^2=6^2+6^2
AC^2=72

On en déduit :
\Vert\overrightarrow{AC}\Vert^2=72

puis :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(72-6^2-6^2\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(72-36-36\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\times 0
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0

Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} de l'espace sont nécessairement coplanaires.
Autrement dit, il existe A, B et C tels que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC} et (au moins) un plan \mathcal{P} contenant A, B et C.

L'unité de longueur dans le plan \mathcal{P} étant celle choisie dans l'espace, la définition du produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} coïncide avec celle du produit scalaire de ces mêmes vecteurs dans le plan \mathcal{P}.

Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs de l'espace, alors :

  • \Vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert^2=\Vert\overrightarrow{u}\Vert^2+2\times \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\Vert\overrightarrow{v}\Vert^2
  • \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{4}\left(\Vert\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\Vert^2\right)

ABCDEFGH est un cube.

-

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{4}\left(\Vert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\Vert^2\right)

Comme ABCD est un carré, la règle du parallélogramme donne :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}

Comme ABCD est un carré, on a :

  • \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
  • -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}

 

On en déduit :
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}

La relation de Chasles permet de conclure :
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}

On en déduit :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{4}\left(\Vert\overrightarrow{AC}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{DB}\Vert^2\right)

Comme les diagonales d'un carré ont la même longueur :
\Vert\overrightarrow{AC}\Vert=\Vert\overrightarrow{DB}\Vert

D'où :
\Vert\overrightarrow{AC}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{DB}\Vert^2=0

Ainsi :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0

Angle orienté et angle géométrique

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace.

  • On appelle angle orienté \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) l'angle orienté formé par des représentants, dans un même plan, des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
  • On appelle angle géométrique formé par les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} l'angle géométrique formé par des représentants, dans un même plan, des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.

ABCDEFGH est un cube.

-

Comme ADHE est un carré, on a :
\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}

Comme A, B et D sont dans le plan (ABD), l'angle orienté \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EH}\right) est l'angle orienté \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right).

Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs non nuls et \alpha est la mesure de l'angle géométrique associé à \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right), alors :

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\Vert\overrightarrow{u}\Vert\times \Vert\overrightarrow{v}\Vert\times \cos(\alpha)

-

Dans le cas de la figure on a :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\Vert\overrightarrow{AB}\Vert\times \Vert\overrightarrow{AC}\Vert\times \cos\left(72{,}49°\right)

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Le projeté orthogonal d'un point A de l'espace sur une droite \mathcal{D} de l'espace est le projeté orthogonal du point A sur la droite \mathcal{D} dans un plan contenant le point A et la droite \mathcal{D}.

définition projeté orthogonal point droite

Si, dans un plan \mathcal{P}, le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), alors :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}

-
B

Les propriétés opératoires du produit scalaire

Le produit scalaire dans l'espace possède les mêmes propriétés opératoires que le produit scalaire dans le plan.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace. Alors :

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}

ABCDEFGH est un cube d'arête 5 unités.

-

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}

Or \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\Vert\overrightarrow{AB}\Vert\times \Vert\overrightarrow{AC}\Vert\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times 5 \times \cos\left(45°\right)
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=25 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}

On en déduit :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=25 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Cette propriété est la propriété de symétrie du produit scalaire.

Soient \overrightarrow{u}\overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace et soit \alpha et \beta deux réels. Alors :

  • \left(\alpha\overrightarrow{u}\right)\cdot\left(\beta\overrightarrow{v}\right)=\alpha\beta\times \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}
  • \overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace tels que :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=10

Alors :
\left(10\overrightarrow{u}\right)\cdot\left(-5\overrightarrow{v}\right)=10\times (-5)\times \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}
\left(10\overrightarrow{u}\right)\cdot\left(-5\overrightarrow{v}\right)=10\times (-5)\times 10
\left(10\overrightarrow{u}\right)\cdot\left(-5\overrightarrow{v}\right)=-500

Les deux propriétés précédentes donnent la propriété de bilinéarité du produit scalaire.

Soient \overrightarrow{u}\overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace.

En couplant la dernière propriété avec la propriété de symétrie du produit scalaire, on déduit :
\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)\cdot\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}

C

Les vecteurs orthogonaux dans l'espace

On définit l'orthogonalité de deux vecteurs dans l'espace comme dans le plan. Le produit scalaire permet de caractériser l'orthogonalité de deux vecteurs dans l'espace.

Vecteurs orthogonaux

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace dans lequel une unité de longueur a été choisie.
On dit que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si leurs directions sont orthogonales.

ABCDEFGH est un cube.

-

Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CG} sont donc orthogonaux.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace dans lequel une unité de longueur a été choisie.

Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0

ABCDEFGH est un cube.

-

Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CG} sont donc orthogonaux.

On en déduit :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CG}=0

II

Le produit scalaire dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, on peut définir le produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs.

A

Les bases et les repères orthonormés de l'espace

Afin de définir des coordonnées de points et de vecteurs dans l'espace, il faut définir des bases et des repères.

On considère l'espace dans lequel une unité de longueur a été choisie.

Base orthogonale

Soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace formant une base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right).

\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est une base orthogonale si les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont deux à deux orthogonaux.

ABCDEFGH est un pavé droit.

-

Les vecteurs \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC} et \overrightarrow{DH} forment une base \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH}\right) orthogonale de l'espace.

Base orthonormée

Soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace formant une base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right).

\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est une base orthonormée si la base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est orthogonale et si \Vert\overrightarrow{u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=\Vert\overrightarrow{w}\Vert=1.

ABCDEFGH est un cube d'arête 1 unité.

définition base orthonormée

Les vecteurs \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC} et \overrightarrow{DH} forment une base \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH}\right) orthonormée de l'espace.

Repère orthonormé

Soit A un point de l'espace et soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace formant une base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right).

On dit que le quadruplet \left(A;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est un repère orthonormé de l'espace si le triplet \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est une base orthonormée de l'espace.

ABCDEFGH est un cube d'arête 1 unité.

-

Le quadruplet \left(D;\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH}\right) est un repère orthonormé de l'espace.

B

L'expression analytique du produit scalaire

Grâce au repère orthonormé de l'espace, on peut définir les coordonnées d'un vecteur comme dans le plan et définir le produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs. 

Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base de l'espace et soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace.

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) sont définies de la même façon que la base soit orthonormée ou non.

Elles correspondent à l'unique triplet \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} tel que \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{\imath}+y\overrightarrow{\jmath}+z\overrightarrow{k}.

Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).

Alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}0\\-1\\3\end{pmatrix} dans une base orthonormée de l'espace.

Alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=1\times 0+2\times (-1)+3\times 3
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=7

Soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace de coordonnées \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} dans une base orthonormée.

Alors :
\Vert\overrightarrow{u}\Vert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace de coordonnées \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} dans une base orthonormée de l'espace.

Alors :
\Vert\overrightarrow{u}\Vert=\sqrt{1^2+2^2+3^2}
\Vert\overrightarrow{u}\Vert=\sqrt{14}

Soient A et B deux points de coordonnées respectives \left(x_A,y_A,z_A\right) et \left(x_B,y_B,z_B\right) dans un repère orthonormé de l'espace, alors :
AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Soient A et B deux points de coordonnées respectives \left(1;2;3\right) et \left(4;5;6\right) dans un repère orthonormé de l'espace. 

Alors :
AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
AB=\sqrt{(4−1)^2+(5−2)^2+(6−3)^2}
AB=\sqrt{3^2+3^2+3^2}
AB=\sqrt{27}
AB=3\sqrt{3}

Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).

Alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si : 

xx'+yy'+zz'=0

Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}0\\-3\\2\end{pmatrix} dans une base orthonormée de l'espace.

En notant \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} les coordonnées respectives des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} dans cette base, on a :
xx'+yy'+zz'=1\times 0+2\times (−3)+3\times 2
xx'+yy'+zz'=0

Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux.

III

L'orthogonalité dans l'espace

Le produit scalaire permet de caractériser l'orthogonalité dans l'espace. 

A

L'orthogonalité de deux droites

Le produit scalaire permet de caractériser simplement l'orthogonalité de deux droites de l'espace.

Orthogonalité de deux droites

Deux droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' de l'espace sont orthogonales si leurs directions sont orthogonales.

-

Soient \mathcal{D} et \mathcal{D}' deux droites de l'espace de vecteurs directeurs respectifs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.

Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' sont orthogonales si, et seulement si, \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0.

ABCDEFGH est un cube.

-

Comme BCGF est un carré, on a :
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}=0

Comme ABCD est un carré, on a :
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}

On en déduit :
\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BF}=0

Les droites (AD) et (BF) sont donc orthogonales.

B

L'orthogonalité d'une droite et d'un plan

Le produit scalaire permet de caractériser de façon simple l'orthogonalité d'un plan et d'une droite grâce à la définition du vecteur normal à un plan.

Vecteur normal à un plan

Un vecteur normal à un plan \mathcal{P} est un vecteur non nul \overrightarrow{n} dont la direction est orthogonale au plan.

définition vecteur normal à un plan

Un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} s'il est orthogonal à tous les vecteurs du plan \mathcal{P}.

-

Un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.

ABCDEFGH est un cube.

-

ABFE est un carré.

Donc \overrightarrow{AE} est orthogonal à \overrightarrow{AB}.

ADHE est un carré.

Donc \overrightarrow{AE} est orthogonal à \overrightarrow{AD}.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD} sont deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan (ABD).

Le vecteur \overrightarrow{AE} est donc normal au plan (ABD).

Soient A un point de l'espace et \overrightarrow{n} un vecteur non nul.
Il existe un unique plan \mathcal{P} passant par A et admettant le vecteur \overrightarrow{n} comme vecteur normal.
C'est l'ensemble des points M de l'espace tels que \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=0.

-

Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Une droite \mathcal{D} et un plan \mathcal{P} sont dits orthogonaux si tout vecteur directeur de \mathcal{D} est un vecteur normal du plan \mathcal{P}.

ABCDEFGH est un cube.

-

Comme ABFE et BCGF sont des carrés :

  • le vecteur \overrightarrow{BF} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{BA} ;
  • le vecteur \overrightarrow{BF} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{BC}.

 

Comme les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{BC} sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), le vecteur \overrightarrow{BF} est normal au plan (ABC).

On en déduit :
La droite (BF) est orthogonale au plan (ABC).

Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Soit A un point de l'espace et \mathcal{P} un plan de l'espace. On appelle projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P} :

  • le point A, si A\in\mathcal{P} ;
  • le point H du plan \mathcal{P}, tel que \overrightarrow{AH} soit un vecteur normal à \mathcal{P}, si A\notin \mathcal{P}.
-

ABCDEFGH est un cube.

-

Le vecteur \overrightarrow{BF} est normal au plan (ABC).

Le projeté du point F dans le plan (ABC) est donc le point B.

On ne change pas le produit scalaire de deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} en remplaçant l'un d'eux, par exemple \overrightarrow{AC}, par son projeté orthogonal sur un plan contenant la droite (AB).

-

Le point H étant le projeté orthogonal du point C dans un plan \mathcal{P} contenant la droite (AB), on a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}

Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan \mathcal{P} est le point de \mathcal{P} le plus proche de M.

Soient M un point et \mathcal{P} un plan de l'espace.

On note H le projeté orthogonal du point M sur le plan \mathcal{P}.

L'objectif est de montrer que la distance MH est la plus courte distance MAA est un point du plan \mathcal{P}.

Soit A un point du plan \mathcal{P}.

-

Le triangle MAH est donc rectangle en H.

D'après le théorème de Pythagore, on a :
MA^2=AH^2+MH^2

Par conséquent :
MH^2\leq MA^2

On en déduit :
MH\leq MA

La distance MH est donc inférieure ou égale à toutes les distances MA obtenues avec un point A quelconque du plan \mathcal{P}.

La distance MH est donc bien la plus courte distance entre M et un point du plan \mathcal{P}.

ABCDEFGH est un cube.

-

Le point B est le projeté orthogonal du point F sur le plan (ABC).

Le point D appartient au plan (ABC).

Par conséquent :
FB\leq FD