Déterminer l'orthogonalité d'un plan et d'une droite à l'aide de coordonnées de vecteurs dans l'espaceExercice

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr -2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.

La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3} \cr\cr -1 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3} \cr\cr 3 \cr\cr -4 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.

Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr 2 \cr\cr -3 \end{pmatrix}.

La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 0 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 2 \cr\cr -4 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 6 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.

La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \sqrt{2} \cr\cr \sqrt{3} \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cr\cr \sqrt{3} \cr\cr 2 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \cr\cr -\sqrt{3} \cr\cr \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} \cr\cr -\dfrac{1}{4} \cr\cr \sqrt{5} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} \cr\cr -\dfrac{3}{16} \cr\cr 2 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit la droite (d) dont un vecteur directeur est \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 8 \cr\cr 0 \end{pmatrix}.

La droite (d) est-elle orthogonale au plan \mathcal{P} ?