On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{\sqrt{2x^2-3}}{\dfrac{1}{x}+1}
On donne le tableau de convergence de la fonction f en +\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1) et (2) ?
(1) : On s'intéresse à la limite en +\infty de la fonction x \rightarrow \sqrt{2x^2-3}.
Cette fonction est définie en tant que fonction racine composée :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } 2x^2-3 = +\infty en tant que fonction polynômiale dont le terme de plus haut degré est 2x^2.
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{x} = +\infty.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{2x^2-3} = +\infty.
On remplace (1) par +\infty.
(2) : Il n'y a pas de forme indéterminée pour un quotient d'une fonction qui tend vers l'infini et d'une fonction qui tend vers un réel non nul.
On remplace (2) par +\infty.
Ainsi :
On remplace (1) par +\infty.
On remplace (2) par +\infty.
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{4x^3+2x-5}{\exp(x)}
On donne le tableau de convergence de la fonction f en -\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1) et (2) ?
(1) : On s'intéresse à la limite en -\infty de la fonction x \rightarrow 4x^3+2x-5.
Cette fonction est définie en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré 4x^3.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} 4x^3= -\infty (fonction de puissance impaire), on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} 4x^3+2x-5= -\infty .
On remplace (1) par -\infty.
(2) : Il n'y a pas de forme indéterminée pour un quotient d'une fonction qui tend vers l'infini et d'une fonction qui tend vers 0^+ (exp(x) étant strictement positif pour tout réel x).
On remplace (2) par -\infty.
Ainsi :
On remplace (1) par -\infty.
On remplace (2) par -\infty.
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{2x+3}{\sqrt{\dfrac{1}{x}}}
On donne le tableau de convergence de la fonction f en +\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1) et (2) ?
(1) : On s'intéresse à la limite de la fonction x \rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x}} en +\infty.
Cette fonction est définie en tant que fonction racine composée :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \dfrac{1}{x} = 0^+ en tant que fonction inverse.
- La fonction racine est définie en 0^+ et \lim\limits_{ 0^+ } \sqrt{x} = 0^+.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{\dfrac{1}{x}} = 0^+.
On remplace (1) par 0^+.
(2) : Il n'y a pas de forme indéterminée pour un quotient d'une fonction qui tend vers l'infini et d'une fonction qui tend vers 0^+.
On remplace (2) par +\infty.
Ainsi :
On remplace (1) par 0^+.
On remplace (2) par +\infty.
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{\sqrt{2x-1}}{1-x}
On donne le tableau de convergence de la fonction f en 1^+.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1), (2) et (3) ?
(1) : On s'intéresse à la limite de la fonction x \rightarrow \sqrt{2x-1} en 1^+.
Cette fonction est définie en tant que fonction racine composée :
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} 2x-1= 1 en tant que fonction affine définie sur \mathbb{R}.
- La fonction racine est définie en 1 et \lim\limits_{ 1 } \sqrt{x} = 1.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow 1^+ } \sqrt{2x-1} = 1.
On remplace (1) par 1.
(2) : On s'intéresse à la limite de la fonction x \rightarrow 1-x en 1^+.
Cette fonction est définie en tant que fonction affine et on a directement : \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} 1 -x = 0^- .
On remplace (2) par 0^-.
(3) : Il n'y a pas de forme indéterminée pour un quotient d'une fonction qui tend vers un réel positif et d'une fonction qui tend vers 0^-.
On remplace (3) par -\infty.
Ainsi :
On remplace (1) par 1.
On remplace (2) par 0^-.
On remplace (3) par -\infty.
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{3x^2-2x+1}{-2x^2+x}
On donne le tableau de convergence de la fonction f en -\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1), (2) et (3) ?
(1) : On s'intéresse à la limite de la fonction x \rightarrow 3x^2-2x+1 en -\infty.
Cette fonction est définie en tant que fonction polynômiale de plus haut terme 3x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} 3x^2 = +\infty , on a : \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} 3x^2-2x+1=+\infty .
On remplace (1) par +\infty.
(2) : On s'intéresse à la limite de la fonction x \rightarrow -2x^2+x en -\infty.
Cette fonction est définie en tant que fonction polynômiale de plus haut terme -2x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} -2x^2 = -\infty , on a : \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} -2x^2+x=-\infty .
On remplace (2) par -\infty.
(3) : Il y a une forme indéterminée pour un quotient d'une fonction qui tend vers +\infty et d'une fonction qui tend vers -\infty.
On remplace (3) par FI.
Ici, pour lever l'indétermination, on factorise par x^2 le numérateur et le dénominateur de f(x).
On a finalement : \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} f(x) = -\dfrac{3}{2} .
Ainsi :
On remplace (1) par +\infty.
On remplace (2) par -\infty.
On remplace (3) par FI.