On pose, pour tout réel x\in D=[2;+\infty[ :
f(x) =\dfrac{\sqrt{3x-6}}{\cos(x)+2}
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cet encadrement afin d'obtenir f(x) dans le terme du milieu et un minorant dans le terme de gauche.
Or, -1 \leq \cos(x) \leq 1 \Leftrightarrow 0 < 1 \leq \cos(x) +2 \leq 3 (On ajoute 2 à chaque membre de l'inégalité).
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{\cos(x)+2} \leq 1 (en composant par la fonction inverse décroissante sur \mathbb{R}_+^*)
On peut maintenant se débarrasser du terme de droite et multiplier par \sqrt{3x-6} \geq 0 sur D.
Ainsi :
\dfrac{\sqrt{3x-6}}{3} \leq \dfrac{\sqrt{3x-6}}{\cos(x)+2} pour tout réel x\geq 2
Finalement :
\dfrac{\sqrt{3x-6}}{3} \leq f(x) sur D
Or, on sait que :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} (3x-6) = +\infty
et
\lim\limits_{X\rightarrow + \infty} \sqrt{X} = +\infty
Par composition et division par 3 qui est strictement positif, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{3x-6}}{3} = +\infty
Ainsi, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x)= +\infty
On pose pour tout réel x :
f(x) =\cos(x) + x
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cet encadrement afin d'obtenir f(x) dans le terme du milieu et un minorant dans le terme de gauche.
On ajoute x à chaque membre de l'encadrement :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 \Leftrightarrow -1+x \leq f(x) \leq 1+x
Or x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante, donc :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} (x-1) = +\infty
Or, on sait que :
x-1 \leq f(x) pour tout réel x
Ainsi, d'après le théorème de comparaison à l'infini, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x)= +\infty
On pose :
f(x) =x^3 -2x^2 +3\cos(x)
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cet encadrement afin d'obtenir f(x) dans le terme du milieu et un minorant dans le terme de gauche.
On multiplie par 3>0 chaque membre de l'encadrement :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 \Leftrightarrow -3 \leq 3\cos(x) \leq 3
On ajoute x^3-2x^2 aux membres de l'encadrement :
x^3-2x^2-3 \leq f(x) \leq x^3-2x^2 +3 pour tout réel x
Or, la fonction x\mapsto x^3-2x^2-3 est une fonction polynomiale de degré 3 dont la limite en +\infty est indéterminée.
Pour lever cette indétermination, on factorise par le terme de plus haut degré :
Pour tout réel x\neq 0, on a :
x^3-2x^2-3=x^3\left(1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^3}\right)
Or, \lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{2}{x}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{3}{x^3}\right)=0.
Par somme, on obtient :
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^3}\right)
Or, \lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty.
Par produit, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \left(x^3-2x^2-3\right) = +\infty
Or, on sait que :
x^3-2x^2-3 \leq f(x) pour tout réel x
Ainsi, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x)= +\infty
On pose, pour tout réel x :
f(x) =2x^2 -\sin(x) +3\cos(x)
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } f(x) ?
On a, pour tout réel x :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 donc -3 \leq 3\cos(x) \leq 3
Et :
-1 \leq \sin(x) \leq 1 donc -1 \leq -\sin(x) \leq 1
En additionnant les encadrements, on obtient :
-4\leq -\sin(x) +3\cos(x) \leq 4
Finalement, en ajoutant 2x^2 à chaque membre de l'encadrement précédent, on a :
2x^2-4 \leq f(x) \leq 2x^2+4
Or, la fonction x\mapsto 2x^2 -4 est une fonction polynomiale du second degré.
Sa courbe représentative est une parabole orientée « vers le haut » car son coefficient de degré 2 est strictement positif.
On en déduit :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \left(2x^2-4\right) = +\infty
Or, on sait que :
2x^2-4 \leq f(x) pour tout réel x
Ainsi, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty} f(x)= +\infty
On pose, pour tout réel x\in D=]0;+\infty[ :
f(x) = \dfrac{\ln(x)}{\cos(x)+2}
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On a pour tout réel x :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 donc 1 \leq \cos(x)+2 \leq 3
La fonction inverse étant strictement décroissante sur \mathbb{R}_+^*, on peut composer par la fonction inverse en changeant le sens des inégalités de cet encadrement.
On obtient :
\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{\cos(x)+2 }\leq 1
On sait que \ln(x) \geq 0 pour tout x \geq 1 .
Or ici, on étudie la limite en \+\infty\), donc on peut multiplier par \ln(x) sans modifier le sens des inégalités :
\dfrac{\ln(x)}{3} \leq f(x) \leq \ln(x) pour tout x\geq 1
De plus, on sait que :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{\ln(x)}{3}=\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty
Or, on a :
\dfrac{\ln(x)}{3} \leq f(x) pour tout réel x supérieur ou égal à 1.
Ainsi, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x)= +\infty