On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-1}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions. On étudie la limite de chaque partie du quotient afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow 2x^2-3x+1 est une fonction polynômiale dont la limite en +\infty ne dépend que du terme de plus haut degré, ici 2x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } 2x^2 = + \infty , on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } 2x^2-3x+1 = + \infty
x\rightarrow x^2-1 est une fonction polynômiale dont la limite en +\infty ne dépend que du terme de plus haut degré, ici x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^2 = + \infty , on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^2-1 = + \infty
On est donc face à une forme indéterminée. Lorsqu'on a une forme indéterminée en \pm \infty causée par des polynômes, on peut les factoriser par le terme de plus haut degré afin de lever l'indétermination.
Ainsi :
f(x) = \dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-1} = \dfrac{x^2}{x^2} \times \dfrac{2 -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x^2}}= \dfrac{2 -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x^2}}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}2 -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x} = 2
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}1-\dfrac{1}{x^2} = 1
Par conséquent, il n'y a plus d'indétermination et on trouve :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 2
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{x-4}{\sqrt{3x^2-2x+1}}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions. On étudie la limite de chaque partie du quotient afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow x-4 est une fonction affine croissante, donc :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x-4 = + \infty
x\rightarrow \sqrt{3x^2-2x+1} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 3x^2-2x+1 = +\infty en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré 3x^2.
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty
Par composition de limite, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{3x^2-2x+1} =+\infty
On est donc face à une forme indéterminée. Lorsqu'on a une forme indéterminée en \pm \infty causée par des puissances de x, on peut les factoriser par le terme de plus haut degré afin de lever l'indétermination (ici, il faut se souvenir que : \sqrt{x} = x^{1/2}.
Ainsi :
f(x) = \dfrac{x-4}{\sqrt{3x^{2}-2x+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}}}\times\dfrac{1-\dfrac{4}{x}}{\sqrt{3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}}
On a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}1 -\dfrac{4}{x}= 1
Et :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x}= 0
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^2}= 0
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}3= 3
Par somme et composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}} = \sqrt{3}
Par conséquent, il n'y a plus d'indétermination, et on trouve :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow 4} f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions. On étudie la limite de chaque partie du quotient afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow x-4 est une fonction affine croissante donc définie sur \mathbb{R} :
\lim\limits_{x\rightarrow 4} x-4 = 0
x\rightarrow \sqrt{x}-2 est une somme de fonction constante et fonction racine.
\lim\limits_{x\rightarrow 4} \sqrt{x}-2 = 0
On est donc face à une forme indéterminée. Afin de lever l'indétermination, on pose une nouvelle variable :
u=\sqrt{x} \Leftrightarrow u^2=x
\lim\limits_{x\rightarrow 4} u= 2
De plus :
f(x) = \dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \dfrac{u^2-4}{u-2}= \dfrac{(u-2)(u+2)}{u-2}=u+2
Donc, par somme :
\lim\limits_{u\rightarrow 2} u+2 = 4
Par conséquent, il n'y a plus d'indétermination, et on trouve :
\lim\limits_{x\rightarrow 4} f(x) = 4
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions. On étudie la limite de chaque partie du quotient afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow x^2 est une fonction polynômiale donc définie sur \mathbb{R} :
\lim\limits_{x\rightarrow 0} x^2 = 0
x\rightarrow 1-\sqrt{1-x^2} est une somme de fonction constante et fonction racine composée définie en 0.
\lim\limits_{x\rightarrow 0} 1-\sqrt{1-x^2} = 0.
On est donc face à une forme indéterminée. Afin de lever l'indétermination on peut faire apparaître une quantité conjuguée au dénominateur.
f(x) = \dfrac{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}} \times \dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{x^2(1+\sqrt{1-x^2})}{1-(1-x^2)} = 1+\sqrt{1-x^2}
Sous cette forme de f, il n'y a plus d'indéterminée et :
\lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x) = 2
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{\exp(3x^2-2x+1)}{\sqrt{x^2+2x}}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions. On étudie la limite de chaque partie du quotient afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow \exp(3x^2-2x+1) est une fonction exponentielle composée :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 3x^2-2x+1 = +\infty en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré 3x^2.
- La fonction exponentielle est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(x) = +\infty.
Par composition de fonctions, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(3x^2-2x+1) = +\infty
x\rightarrow \sqrt{x^2+2x} est une fonction racine composée :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^2+2x = +\infty en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré x^2.
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty.
Par composition de fonctions, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+2x} = +\infty
On est donc face à une forme indéterminée, on peut utiliser les croissances comparées de l'exponentielle. On sait d'après ces croissances comparées que l'exponentielle « domine » les puissances de x.
Par conséquent :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = + \infty