Quelle est la limite en -\infty de f(x) = \dfrac{-\sqrt{-2x+4} }{\sin\left(x^2\right)+2} définie sur D=]-\infty,2] ?
D'après le cours et ce qui est rappelé dans l'énoncé, on a :
-1 \leq \sin(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cette expression grâce aux opérations sur les inégalités pour obtenir f(x).
Tout d'abord, comme l'expression -1 \leq \sin(x) \leq 1 est vraie pour tout réel x, elle est également vraie en substituant x par x^2.
On a donc :
-1 \leq \sin(x^2)\leq 1
\Leftrightarrow 0< 1 \leq \sin(x^2) +2 \leq 3
Par décroissance de la fonction inverse sur \mathbb{R}_+^* , on peut composer par la fonction inverse en changeant le sens de l'inéquation :
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{\sin(x^2)+2} \leq 1
Finalement, comme -\sqrt{-2x + 4} \leq 0 sur D, on peut multiplier par \sqrt{-2x+4} en changeant le sens des inégalités :
\Leftrightarrow \dfrac{-\sqrt{-2x + 4}}{3} \geq \dfrac{-\sqrt{-2x + 4}}{\sin(x^2)+2} \geq -\sqrt{-2x + 4}
Pour obtenir un majorant, on peut simplement se débarrasser du membre de droite dans l'encadrement, qui n'est plus utile :
\dfrac{\sqrt{-2x + 4}}{\sin(x^2)+2} \leq \dfrac{-\sqrt{-2x + 4}}{3}
Ainsi, pour tout x\in D , on a :
f(x) \leq \dfrac{-\sqrt{-2x + 4}}{3}
On détermine maintenant :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } -\sqrt{-2x+4}
x \mapsto -2x+4 est une fonction affine décroissante, donc :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } (-2x+4) = +\infty
Par composition de limite par la fonction racine, continue sur \mathbb{R_+} :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } \sqrt{-2x+4} = +\infty
Enfin, en multipliant par -1 <0 :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty} -\sqrt{-2x+4} = -\infty
Comme pour tout x\in D : f(x) \leq \dfrac{-\sqrt{-2x+4}}{3} , d'après le théorème de comparaison on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) = -\infty
Quelle est la limite en -\infty de f(x) = x^3+\sin(x)+2x^2 définie sur \mathbb{R} ?
D'après le cours et ce qui est rappelé dans l'énoncé, on a donc :
-1 \leq \sin(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cette expression grâce aux opérations sur les inégalités pour obtenir f(x).
En ajoutant x^3+2x^2 à chaque membre de l'encadrement précédent, on obtient :
x^3 +2x^2 -1 \leq f(x) \leq x^3 +2x^2 +1
x\mapsto x^3 +2x^2 +1 est une fonction polynomiale dont la limite en -\infty est indéterminée.
Pour lever l'indétermination, on factorise l'expression par le terme de plus haut degré :
Pour tout réel x\neq 0, x^3+2x^2+1=x^3\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^3}\right)
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{2}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x^3}=0
Par somme, \lim\limits_{x\rightarrow-\infty} \left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^3}\right)=1.
Or \lim\limits_{x\rightarrow-\infty} x^3=-\infty.
Par produit, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} x^3+2x^2+1=-\infty
Comme f(x) \leq x^3+2x^2+1 , pour tout réel x, d'après le théorème de comparaison à l'infini on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) = -\infty
Quelle est la limite en -\infty de f(x) = \dfrac{-2x^2-2}{\cos(x)+5 } définie sur \mathbb{R} ?
D'après le cours et ce qui est rappelé dans l'énoncé, on a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
Ainsi :
4 \leq \cos(x) +5 \leq 6
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur \mathbb{R}_+^*, on peut composer cette inéquation en changeant le sens :
\dfrac{1}{6} \leq \dfrac{1}{\cos(x) +5 } \leq \dfrac{1}{4}
Comme -2x^2-2 \leq 0 sur \mathbb{R}_- et qu'on étudie la limite en -\infty, on peut multiplier chaque membre de l'encadrement par -2x^2-2 en en changeant le sens des inégalités :
\dfrac{-2x^2-2}{4} \leq \dfrac{-2x^2-2}{\cos(x) +5} \leq \dfrac{-2x^2-2}{6}
x\mapsto -2x^2-2 est une fonction polynomiale de degré 2.
Sa courbe représentative est une parabole orientée « vers le bas » car son coefficient de degré est strictement négatif.
Donc :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \left(-2x^2-2\right)=-\infty
On en déduit :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \left( \dfrac{-2x^2-2}{6}\right)=-\infty
Comme f(x) \leq \dfrac{-2x-2}{6} , d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) = -\infty
Quelle est la limite en -\infty de f(x) = x+\cos(x) définie sur \mathbb{R} ?
D'après le cours et ce qui est rappelé dans l'énoncé, on a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cette expression grâce aux opérations sur les inégalités pour obtenir f(x).
En ajoutant x à chaque membre de l'encadrement précédent, on obtient :
x -1 \leq f(x) \leq x+1
x\rightarrow x +1 est une fonction affine strictement croissante sur \mathbb{R}.
On en déduit :
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} (x+1)=-\infty
Comme f(x) \leq x+1 pour tout réel x, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) = -\infty
Quelle est la limite en +\infty de f(x) = -x^2+\cos(x)-2\sin(x) définie sur \mathbb{R} ?
D'après le cours, pour tout réel x, on a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 (*) et -1 \leq \sin(x) \leq 1
On en déduit, en multipliant le dernier encadrement par -2 :
-2 \leq -2\sin(x)\leq 2 . (**)
En additionnant membre à membre les encadrements (*) et (**), on obtient :
-3 \leq \cos(x) -2 \sin(x) \leq 3
Finalement, en ajoutant à chaque membre du dernier encadrement -2x^2, on a :
-2x^2-3 \leq f(x) \leq -2x^2+3 pour tout réel x
x\mapsto -2x^2 +3 est une fonction polynomiale de degré 2.
Sa courbe représentative est une parabole orientée « vers le bas » car son coefficient de degré 2 est strictement négatif.
Donc :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \left(-2x^2+3\right)=-\infty
Comme f(x) \leq -2x^2 +3 pour tout réel x, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) = -\infty