Etudier les limites de plusieurs opérations de fonctions composées initialement sous forme indéterminée Exercice

f est définie en tant que somme de deux fonctions. 

x \mapsto \sqrt{x^2-1} est une fonction composée et :

• \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \left(x^2-1\right) = +\infty en tant que fonction du second degré, dont la parabole est orientée vers le haut.
• La fonction racine est définie [0;+\infty[ et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x} = +\infty.

 

Par composition de limites : \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x^2-1} = +\infty.

 

x \mapsto \sqrt{x^2+1} est une fonction composée et :

• \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \left(x^2+1\right) = +\infty en tant que fonction du second degré, dont la parabole est orientée vers le haut.
• La fonction racine est définie sur [0;+\infty[ et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x} = +\infty.

 

Par composition de limites : \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x^2+1} = +\infty.

Ainsi, \lim\limits_{x\to +\infty}f(x) est une forme indéterminée. 

Pour lever une indétermination en +\infty impliquant des racines, on peut faire apparaître la quantité conjuguée.

Pour tout réel x\geq 1 :
f(x) = \sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+1} = (\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+1}) \dfrac{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x^2-1-(x^2+1)}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{-2}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2+1}}

Or, on sait que :

• \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} -2 = -2
• \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \left(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x^2+1}\right) = +\infty  en tant que somme de deux fonctions qui tendent vers +\infty.

f est le quotient de deux fonctions. 

x \mapsto x^2 est la fonction carré et, d'après le cours :
\lim\limits_{x\rightarrow 0} x^2 = 0

x \mapsto 1-\sqrt{1-x^2} est la somme de deux fonctions et :

• \lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1-x^2\right) = 1 
• et \lim\limits_{x\rightarrow 1} \sqrt{x} = 1  

 

Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow 0} \sqrt{1-x^2} = 1,

Et par somme de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1-\sqrt{1-x^2}\right) = 0 

Ainsi, \lim\limits_{x\to 0}f(x) est une forme indéterminée. 

Pour lever une indétermination en 0 impliquant des racines, on peut faire apparaître la quantité conjuguée.

Pour tout x\in [-1; 0[ \cup ]0;1] :
f(x) = \dfrac{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{x^2(1+\sqrt{1-x^2})}{ (1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}=\dfrac{x^2(1+\sqrt{1-x^2})}{1-(1-x^2)} = \dfrac{x^2(1+\sqrt{1-x^2})}{x^2} = 1+\sqrt{1-x^2}

Or, on sait que :

• \lim\limits_{x\rightarrow 0} 1 = 1  
• \lim\limits_{x\rightarrow 0} \sqrt{1-x^2} = 1  

f est un quotient de deux fonctions. 

x \mapsto x^2-2x est une fonction polynomiale du second degré, donc définie sur \mathbb{R} , et \lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(x^2 -2x\right) = 0.

x \mapsto \sqrt{1-x}-1 est une somme de fonctions et : 

• \lim\limits_{x\rightarrow 0} (1-x) = 1
• et \lim\limits_{x\rightarrow 1} \sqrt{x} = 1

 

Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow 0} \sqrt{1-x} = 1

Et par somme de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(\sqrt{1-x}-1\right) = 0 

Ainsi \lim\limits_{x\to 0}f(x) est une limite indéterminée. 

Pour lever une indétermination en 0 impliquant des racines, on peut faire apparaître la quantité conjuguée.

Pour tout réel x\in]-\infty;0[ :
f(x) = \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{x^2-2x}= \dfrac{\left(\sqrt{1-x}-1\right)\left(\sqrt{1-x}+1\right)}{\left(x^2-2x\right)\left(\sqrt{1-x}+1\right)} = \dfrac{1-x-1}{x(x-2)\left(\sqrt{1-x}+1\right)} = \dfrac{-1}{(x-2)\left(\sqrt{1-x}+1\right)}

Or, on sait que :

• \lim\limits_{x\rightarrow 0} -1 = -1  
• \lim\limits_{x\rightarrow 0} (x-2)\left(\sqrt{1-x}+1\right) = -4  

f est une fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynomiales). 

x \mapsto x^3-2x+1 est une fonction polynomiale du troisième degré.

Pour en déterminer la limite en +\infty, on peut factoriser par le terme de plus haut degré.

Pour tout réel x>0 :
x^3-2x+1 = x^3\left(1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3} \right)

Comme :

• \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{2}{x^2} = 0
• \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{x^3} = 0

On a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \left(1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3} \right)= 1

De plus :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} x^3= +\infty 

Par produit, on en déduit :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} x^3\left(1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3} \right)= +\infty 

Donc \lim\limits_{x\to +\infty}\left(x^3-2x+1\right)=+\infty.

 

x \mapsto x^2+x est une fonction polynomiale du second degré.

Dont la parabole est tournée vers le haut et : 
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \left( x^2+2x\right)= +\infty 

Ainsi, \lim\limits_{x\to +\infty}f est une forme indéterminée. 

Pour lever une indétermination en +\infty impliquant des formes polynômiales, on factorise les polynômes par les termes de plus haut degré :

Pour tout réel x>0 :
f(x) = \dfrac{x^3-2x+1}{x^2+x}=\dfrac{x^3}{x^2}\times \dfrac{1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}{1+\dfrac{1}{x}}= x \times \dfrac{1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}{1+\dfrac{1}{x}}

Or, on sait que :

• \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \left(1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right) = 1  
• \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right) = 1  

f est un quotient de deux fonctions.

x \mapsto \sqrt{x^2-2x+3} est une fonction composée et :

• \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \left(x^2-2x+3\right)=+\infty en tant que fonction polynomiale du second degré dont la parabole est orientée vers le haut.
• De plus, \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty .

 

Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x^2-2x+3} = + \infty

x \mapsto x est une fonction affine strictement croissante donc :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} x= +\infty 

Ainsi \lim\limits_{x\to +\infty}f(x) est une forme indéterminée. 

Pour lever une indétermination en +\infty impliquant un quotient de formes polynômiales, on factorise les polynômes par les termes de plus haut degré :

Pour tout réel x>0 :
f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2}}{x} \times \dfrac{\sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}}{1} = 1 \times \sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}} = \sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}

Or, on sait que :

• \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right) = 1  
• et \lim\limits_{x\rightarrow 1 } \sqrt{x} = 1