On définit la fonction f par f(x) = x - \sqrt{x^2+1} .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme pour déterminer la limite de la fonction f.
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} x = +\infty de manière évidente.
x \rightarrow -\sqrt{x^2+1} est une fonction composée multipliée par la fonction constante égale à -1.
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty} x^2+1 = +\infty
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{x} = +\infty
Par composition et produits de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} -\sqrt{x^2+1} = -\infty
On est dans le cas d'une forme indéterminée. Lorsqu'une forme indéterminée implique une somme dont l'une des parties est une racine, on peut multiplier par la quantité conjuguée afin de faire disparaître la forme indéterminée.
f(x) = x- \sqrt{x^2+1} =(x- \sqrt{x^2+1}) \times \dfrac{x+ \sqrt{x^2+1}}{x+ \sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x^2-\left(x^2+1\right)}{x+ \sqrt{x^2+1}} = \dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}
Ainsi f peut être vue comme une fonction inverse composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x+\sqrt{x^2+1} = +\infty en tant que somme de fonctions qui tendent vers +\infty.
- La fonction inverse est définie en +\infty et \(\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{-1}{x}= 0 \).
Par composition de limites, on a finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 0
On définit la fonction f par f(x) = \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1} .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme pour déterminer la limite de la fonction f.
x \rightarrow \sqrt{x^2+1} est une fonction composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty} x^2+1 = +\infty
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{x} = +\infty
Par composition, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{x^2+1} = +\infty
x \rightarrow -\sqrt{x^2-1} est une fonction composée multipliée par la fonction constante égale à -1.
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty} x^2-1 = +\infty
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{x} = +\infty .
Par composition et produits de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} -\sqrt{x^2-1} = -\infty
On est dans le cas d'une forme indéterminée. Lorsqu'une forme indéterminée implique une somme dont l'une des parties est une racine, on peut multiplier par la quantité conjuguée afin de faire disparaître la forme indéterminée.
f(x) = \sqrt{x^2+1}- \sqrt{x^2-1} =( \sqrt{x^2+1}- \sqrt{x^2-1}) \times \dfrac{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x^2-1}}{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x^2-1}} = \dfrac{x^2+1-(x^2-1)}{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x^2-1}} = \dfrac{2}{ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}
Ainsi f peut être vue comme une fonction inverse composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1} = +\infty en tant que somme de fonctions qui tendent vers +\infty.
- La fonction inverse est définie en +\infty et \(\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}= 0 \).
Par composition de limites, on a finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 0
On définit la fonction f par f(x) = \text{e}^x - 3x^2-2x+1 .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme pour déterminer la limite de la fonction f.
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \text{e}^x = +\infty
x \rightarrow -3x^2-2x+1 est une fonction polynômiale du second degré dont la limite dépend seulement du terme de plus haut degré ici -3x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}-3x^2=-\infty on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -3x^2-2x+1 = - \infty
On est dans le cas d'une forme indéterminée. Lorsqu'une forme indéterminée implique une somme d'une fonction exponentielle et d'une fonction polynôme, on peut factoriser par la fonction exponentielle car on sait que celle-ci domine la fonction polynômiale. Cela permet de se débarrasser de la forme indéterminée.
f(x) = \text{e}^x-3x^2-2x+1 = \text{e}^x\left(1+\dfrac{-3x^2-2x+1}{\text{e}^x}\right) =\text{e}^x\left(1+\dfrac{-3x^2}{\text{e}^x}+\dfrac{-2x}{\text{e}^x}+\dfrac{1}{\text{e}^x}\right)
Par croissance comparée :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2}{\text{e}^x} = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-2x}{\text{e}^x} =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\text{e}^x} =0
Par somme des limites, on en déduit :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \left(1+\dfrac{-3x^2-2x+1}{\text{e}^x}\right) =1
Ainsi f est définie en tant que produit de fonctions, il n'y a plus de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty
On définit la fonction f par f(x) = \ln(x) - (x^5+3x^2-x) .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme pour déterminer la limite de la fonction f.
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \ln(x) = +\infty
x \rightarrow -x^5-3x^2+x est une fonction polynômiale dont la limite dépend seulement du terme de plus haut degré ici -x^5.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}-x^5=-\infty on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \left(-x^5-3x^2+x\right) = - \infty
On est dans le cas d'une forme indéterminée. Lorsqu'une forme indéterminée implique une somme d'une fonction logarithme et d'une fonction polynôme, on peut factoriser par la fonction polynôme car on sait que celle-ci domine la fonction logarithme. Cela permet de se débarrasser de la forme indéterminée.
f(x) = \ln(x)-x^5-3x^2+x = \left(-x^5\right)\left(\dfrac{\ln(x)}{-x^5}+1+\dfrac{-3x^2}{-x^5}+\dfrac{x}{-x^5}\right)
f(x) = \left(-x^5\right)\left(\dfrac{\ln(x)}{-x^5}+1+\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}\right)
Par croissance comparée :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{-x^5} = 0
Or :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{3}{x^3} = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^4} =0
Par somme :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\ln(x)}{-x^5}+1+\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}\right) =1
Ainsi f est définie en tant que produits de fonctions, il n'y a plus de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = -\infty
On définit la fonction f par f(x) = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{1-x^2} .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme pour déterminer la limite de la fonction f.
x \rightarrow \dfrac{1}{x-1} est une fonction composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^-} x-1 = 0^-
- La fonction inverse est définie en 0^- et \lim\limits_{x\rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty .
Par composition, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} \dfrac{1}{x-1} = -\infty
x \rightarrow \dfrac{1}{1-x^2} est une fonction composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^-} 1-x^2 = 0^+
- La fonction inverse est définie en 0^+ et \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty .
Par composition, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} \dfrac{1}{1-x^2} = +\infty
On est face à une forme indéterminée. Lorsqu'une forme indéterminée implique une somme de quotients, on simplifie l'expression pour lever l'indétermination.
f(x) = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{1-x^2} =\dfrac{1-x^2+x-1}{(x-1)(1-x^2)} = \dfrac{-x^2+x}{(x-1)(1-x^2)} = \dfrac{-x(x-1)}{(x-1)(1-x^2)} = \dfrac{-x}{1-x^2}
Finalement :
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^-} -x = -1
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^-} 1-x^2 = 0^+
Ainsi f est définie en tant que quotient de fonctions, il n'y a plus de forme indéterminée et on a :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) = -\infty