On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{2x^3-4x+6}{3x^3+2x^2-3}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} f(x) ?
f est définie en tant que quotients de fonctions. On étudie la limite des différentes parties de f pour en déduire la limite de f.
x\rightarrow 2x^3-4x+6 est une fonction polynômiale de terme de plus haut degré 2x^3.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} 2x^3 = -\infty , on a :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty} 2x^3-4x+6 = -\infty
x\rightarrow 3x^3+2x^2-3 est une fonction polynômiale de terme de plus haut degré 3x^3.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} 3x^3 = -\infty , on a :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty} 3x^3+2x^2-3 = -\infty
On est face à une forme indéterminée.
Quand une forme indéterminée est provoquée par un quotient de formes polynômiales, on peut factoriser par le terme de plus haut degré les polynômes afin de lever l'indétermination.
f(x) = \dfrac{2x^3-4x+6}{3x^3+2x^2-3} = \dfrac{x^3}{x^3} \times \dfrac{2 - \dfrac{4}{x^2} +\dfrac{6}{x^3}}{3+\dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^3} }
Comme :
- \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} 2 - \dfrac{4}{x^2} +\dfrac{6}{x} = 2
- \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} 3+\dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^3} = 3
Ainsi, il n'y a plus de forme indéterminée et :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty} f(x) = \dfrac{2}{3}
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{3x^2-4x+5}{-2x^2+3}+\sqrt{\dfrac{1}{x} +2 }
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) ?
f est définie en tant que quotient et somme de fonctions. On étudie la limite des différentes parties de f pour en déduire la limite de f.
x\rightarrow 3x^2-4x+5 est une fonction polynômiale de terme de plus haut degré 3x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} 3x^2 = +\infty , on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} 3x^2-4x+5 = +\infty
x\rightarrow -2x^2+3 est une fonction polynômiale de terme de plus haut degré -2x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -2x^2 = -\infty , on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} -2x^2+3 = -\infty
x\rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x} +2} est une fonction racine composée :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{x} +2 = 2
- La fonction racine est définie en 2 et \lim\limits_{x\rightarrow 2} \sqrt{x} = \sqrt{2} .
On est face à une forme indéterminée.
Quand une forme indéterminée est provoquée par un quotient de formes polynômiales, on peut factoriser par le terme de plus haut degré les polynômes afin de lever l'indétermination.
\dfrac{3x^2-4x+5}{-2x^2+3} = \dfrac{x^2}{x^2} \times \dfrac{3 - \dfrac{4}{x} +\dfrac{5}{x^2}}{-2+\dfrac{3}{x^2} }
Comme :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} 3 - \dfrac{4}{x} +\dfrac{5}{x^2} = 3
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} -2+\dfrac{3}{x^3} = -2
Ainsi, il n'y a plus de forme indéterminée et :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) =- \dfrac{3}{2} +\sqrt{2}
On définit la fonction f par :
f(x) =\dfrac{ \sqrt{x^2-1}}{x^2+6x-7}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) ?
f est défini en tant que quotient et somme de fonctions. On étudie la limite des différentes parties de f pour en déduire la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{x^2-1} est une fonction racine composée :
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+
- La fonction racine est définie en 0^+ et \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x} = 0 .
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \sqrt{x^2-1} = 0
x\rightarrow x^2+6x-7 est une fonction polynômiale définie sur \mathbb{R}.
Ainsi, \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} x^2+6x-7= 0.
On est face à une forme indéterminée.
On sait que 1 est une racine de x^2-1 et de x^2+6x-7.
Ainsi, on peut factoriser ces deux polynômes par (x - 1) :
- x^2-1=(x-1)(x+1)
- x^2+6x-7 = (x-1)(x+7)
Ainsi, f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^2+6x-7} = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{x+1}}{x+7}=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \times \dfrac{\sqrt{x+1}}{x+7} .
Il faut ici se souvenir les règles de calcul sur les puissances :
\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{x^{1/2}}{x} = x^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{x} }
Finalement, comme :
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} = +\infty
- \lim\limits_{x \to 1^{+}}\dfrac{\sqrt{x+1}}{x+7}=\dfrac{\sqrt{2}}{8}
Ainsi, il n'y a plus de forme indéterminée et :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) =+\infty
On définit la fonction f par :
f(x) =\dfrac{\sqrt{1-x}-1 }{x^2-2x}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x) ?
f est définie en tant que quotient et somme de fonctions. On étudie la limite des différentes parties de f pour en déduire la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{1-x}-1 est une somme d'une fonction racine composée et d'une fonction constante :
- \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} 1-x = 1
- La fonction racine est définie en 1 et \lim\limits_{x\rightarrow 1} \sqrt{x} = 1 .
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{1-x}-1 = 0
x\rightarrow x^2-2x est une fonction polynômiale définie sur \mathbb{R}.
Ainsi, \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x^2-2x= 0.
On est face à une forme indéterminée.
Lorsqu'une forme indéterminée implique des opérations avec des racines, on peut multiplier par la quantité conjuguée afin de lever l'indétermination.
f(x) = \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{x^2-2x} =\dfrac{\sqrt{1-x}-1}{x^2-2x} \times \dfrac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1} = \dfrac{-x}{x(x-2)(\sqrt{1-x}+1)} = \dfrac{-1}{(x-2)(\sqrt{1-x}+1) }
Finalement comme :
- \lim\limits_{x\rightarrow 0^+ } x-2 = -2
- \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{1-x}+1 = 2
Ainsi, il n'y a plus de forme indéterminée et :
\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x) = \dfrac{1}{4}
On définit la fonction f par :
f(x) =\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que quotient et somme de fonctions. On étudie la limite des différentes parties de f pour en déduire la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{\sqrt{x}+x} est une fonction racine composée :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x}+x = +\infty
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty .
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{\sqrt{x}+x} = +\infty
x\rightarrow \sqrt{x} est la fonction racine, donc :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \sqrt{x}= +\infty
On est face à une forme indéterminée.
On simplifie f en se souvenant que :
\sqrt{x} = x^{1/2}
f(x) = (x+\sqrt{x})^{1/2}-x^{1/2}= x^{1/2}\left(1+\dfrac{\sqrt{x}}{x}\right)^{1/2} -x^{1/2} =x^{1/2}(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{1/2}-1)
Lorsqu'une forme indéterminée implique des opérations avec des racines, on peut multiplier par la quantité conjuguée afin de lever l'indétermination.
f(x) = x^{1/2}(\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}-1) \times \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}+1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}+1} = \dfrac{x^{1/2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}} -1\right)}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}+1} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}+1}
Finalement, comme \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0 , on en déduit que :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}} = 1 par composition de limites
Finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}+1} = \dfrac{1}{2}
Donc \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = \dfrac{1}{2}.