Les limites de fonctionsCours

I

Les limites possibles d'une fonction

Une fonction peut avoir plusieurs limites dans différents cas, différents comportements sont possibles à chaque limite. 

A

La limite d'une fonction en +\infty

Lorsque la variable d'une fonction devient très grande, le comportement de la fonction peut être de plusieurs types.

Limite finie en +\infty

Soit f une fonction de la variable réelle x.

On dit que la fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers +\infty si, pour tout intervalle I ouvert contenant \ell, il existe un réel x_0 tel que :

si x\geq x_0, alors f(x)\in I

-

Lorsqu'une fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers +\infty, on note :

\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell

\lim\limits_{x\to +\infty}\left(5+\frac{1}{x^2}\right)=5

-

Lorsqu'une fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers +\infty, alors la droite d'équation y=\ell est asymptote à la courbe de f au voisinage de +\infty.

\lim\limits_{x\to +\infty}\left(5+\frac{1}{x^2}\right)=5, donc la droite d'équation y=5 est asymptote à la courbe de la fonction f:x\mapsto 5+\frac{1}{x^2} au voisinage de +\infty.

-

Limite +\infty en +\infty

Soit f une fonction de la variable réelle x.

On dit que la fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers +\infty si, pour tout réel A, il existe un réel a tel que :

si x\geq a, alors f(x)>A

-

Lorsqu'une fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers +\infty, on note :

\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x^4\right)=+\infty

-

Limite -\infty en +\infty

Soit f une fonction de la variable réelle x.

On dit que la fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers +\infty si, pour tout réel A, il existe un réel a tel que :

si x\geq a, alors f(x)<A

-

Lorsqu'une fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers +\infty, on note :

\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty

\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-x^3\right)=-\infty

-

Une fonction n'admet pas forcément de limite en +\infty.

La fonction f:x\mapsto x\times \sin(x) n'admet pas de limite en +\infty.

-
B

La limite d'une fonction en -\infty

Lorsque la variable d'une fonction devient proche de -\infty (négative et très grande en valeur absolue), le comportement de la fonction peut être de plusieurs types.

Limite finie en -\infty

Soit f une fonction de la variable réelle x.

On dit que la fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers -\infty si, pour tout intervalle I ouvert contenant \ell, il existe un réel a tel que :

si x\leq a, alors f(x)\in I

-

Lorsqu'une fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers -\infty, on note :

\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\ell

\lim\limits_{x\to -\infty}\left(5+\frac{1}{x^2}\right)=5

-

Lorsqu'une fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers -\infty, alors la droite d'équation y=\ell est asymptote à la courbe de f au voisinage de -\infty.

\lim\limits_{x\to -\infty}\left(5+\frac{1}{x^2}\right)=5, donc la droite d'équation y=5 est asymptote à la courbe de la fonction f:x\mapsto 5+\frac{1}{x^2} au voisinage de -\infty.

-

Limite +\infty en -\infty

Soit f une fonction de la variable réelle x.

On dit que la fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers -\infty si, pour tout réel A, il existe un réel a tel que :

si x\leq a, alors f(x)>A

-

Lorsqu'une fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers -\infty, on note :

\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty

\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x^4\right)=+\infty

-

Limite -\infty en -\infty

Soit f une fonction de la variable réelle x.

On dit que la fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers -\infty si, pour tout réel A, il existe un réel a tel que :

si x\leq a, alors f(x)<A

-

Lorsqu'une fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers -\infty, on note :

\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty

\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x^5\right)=-\infty

-

Une fonction n'admet pas forcément de limite en -\infty.

La fonction f:x\mapsto x\times \sin(x) n'admet pas de limite en -\infty.

-
C

La limite d'une fonction en un point

Lorsque la variable d'une fonction devient proche d'un réel, le comportement de la fonction peut être de plusieurs types, notamment lorsque le réel constitue une valeur interdite de la fonction.

Limite +\infty en a

Soit f une fonction de la variable réelle x.

On dit que la fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers a si, pour tout réel A, il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que :

si x\in I, alors f(x)>A

-

Lorsqu'une fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers a, on note :
\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty

\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty

-

Lorsqu'une fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers a, alors la droite d'équation x=a est asymptote à la courbe de f.

\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty, donc la droite d'équation x=0 (c'est-à-dire l'axe des ordonnées) est asymptote à la courbe de la fonction f:x\mapsto \dfrac{1}{x^2}.

-

Limite -\infty en a

Soit f une fonction de la variable réelle x.

On dit que la fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers a si, pour tout réel A, il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que :

si x\in I, alors f(x)<A

-

Lorsqu'une fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers a, on note :

\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty

\lim\limits_{x\to 1}\frac{-1}{(x-1)^2}=-\infty

-

Lorsqu'une fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers a, alors la droite d'équation x=a est asymptote à la courbe de f.

\lim\limits_{x\to 1}\frac{-1}{(x-1)^2}=-\infty, donc la droite d'équation x=1 est asymptote à la courbe de la fonction f:x\mapsto \dfrac{−1}{(x−1)^2}.

-

Limite \ell en a

Soit f une fonction de la variable réelle x.

On dit que la fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers a si, pour tout intervalle ouvert J contenant \ell, il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que :

si x\in I, alors f(x)\in J

-

Lorsqu'une fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers a, on note :

\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell

\lim\limits_{x\to 0 } sin(x)+x=0

-

Il existe des cas importants de fonctions où les limites « à gauche » et « à droite » d'un réel a sont différentes.

Avec \lfloor x\rfloor pour la partie entière du réel x, on a :
\lim\limits_{x\to 5\\x<5}\lfloor x\rfloor=4

mais \lim\limits_{x\to 5\\x>5}\lfloor x\rfloor=5.

Soit une fonction f de la variable réel x.

  • Pour la limite « à gauche » de la fonction f en un réel a, on note \lim\limits_{x\to a\\x<a}f(x) ou \lim\limits_{x\to a^{-}}f(x).
  • Pour la limite « à droite » de la fonction f en un réel a, on note \lim\limits_{x\to a\\x>a}f(x) ou \lim\limits_{x\to a^{+}}f(x).

Avec \lfloor x\rfloor pour la partie entière du réel x, on a :
\lim\limits_{x\to 5\\x<5}\lfloor x\rfloor=4

On peut également écrire :
\lim\limits_{x\to 5^{-}}\lfloor x\rfloor=4

II

La comparaison de limites

Afin d'étudier les limites de certaines fonctions compliquées, on peut comparer ces fonctions à des fonctions dont on connaît le comportement par un encadrement ou une inégalité.

Théorème de comparaison

a désigne -\infty, +\infty ou un réel.

Soient f et g deux fonctions réelles définies sur un intervalle I pour lequel a est une borne de l'intervalle ou appartient à l'intervalle.

  • Si pour tout réel x\in I, f(x)\geq g(x) et si \lim\limits_{x\to a}g(x)=+\infty, alors \lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty.
  • Si pour tout réel x\in I, f(x)\leq g(x) et si \lim\limits_{x\to a}g(x)=-\infty, alors \lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty.

En étudiant les variations de la fonction x\mapsto \text{e}^x-x, on en déduit le signe de \text{e}^x-x.

On obtient que pour tout réel x :
\text{e}^x\geq x

Or \lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty.

Par comparaison, on a :
\lim\limits_{x\to +\infty}\text{e}^x=+\infty

Théorème des gendarmes

a désigne -\infty, +\infty ou un réel et \ell désigne un réel.

Soient fg et h trois fonctions réelles définies sur un intervalle I pour lequel a est une borne de l'intervalle ou appartient à l'intervalle.

Si pour tout réel x\in I, f(x)\leq g(x)\leq h(x) et si \lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}h(x)=\ell, alors :
\lim\limits_{x\to a}g(x)=\ell

Soient f, g et h les fonctions définies sur ]0;+\infty[ par :
f(x)=\dfrac{−1}{x}, g(x)=\dfrac{\sin(x)}{x} et h(x)=\dfrac{1}{x}

Comme −1\leq \sin(x)\leq 1 pour tout réel x, on obtient :
f(x)\leq g(x)\leq h(x) pour tout réel x>0

Or \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{-1}{x}=0 et \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0.

D'après le théorème des gendarmes, on en déduit :
\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}=0

III

Les opérations de limites

La plupart des fonctions qui servent en modélisation mathématique ne sont pas des fonctions usuelles, mais elles peuvent être composées de plusieurs fonctions usuelles réunies par des opérations de base.

A

Les limites d'une somme

Une fonction peut être la somme de deux (ou plus) fonctions. Dans de nombreux cas, l'étude des limites des deux fonctions la composant permet d'obtenir la limite cherchée de la fonction de départ.

On note FI une forme « indéterminée », c'est-à-dire une forme pour laquelle la connaissance des limites et de l'opération ne suffit par pour conclure.

Soient f et g deux fonctions réelles.

L et L' désignent deux réels.

\alpha désigne un nombre réel, -\infty ou +\infty.

On a alors le tableau suivant :

-
  • \lim\limits_{x\to 0}\sin(x)=0
  • \lim\limits_{x\to 0}\cos(x)=1

 

Donc, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x\to 0}\left(\sin(x)+\cos(x)\right)=1

  • \lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty
  • \lim\limits_{x\to +\infty}\text{e}^x=+\infty

 

Donc, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x+\text{e}^x\right)=+\infty

B

Les limites d'un produit

Une fonction peut être le produit de deux (ou plus) fonctions. Dans de nombreux cas, l'étude des limites des deux fonctions la composant permet d'obtenir la limite cherchée de la fonction de départ.

Soient f et g deux fonctions réelles.

L et L' désignent deux réels.

\alpha désigne un nombre réel, -\infty ou +\infty.

On a alors le tableau suivant :

-
  • \lim\limits_{x\to 0}\sin(x)=0
  • \lim\limits_{x\to 0}\cos(x)=1

 

Donc, par produit, on obtient :
\lim\limits_{x\to 0}\left(\sin(x)\times \cos(x)\right)=0

  • \lim\limits_{x\to +\infty}\left(x\right)=+\infty
  • \lim\limits_{x\to +\infty}\text{e}^x=+\infty

 

Donc, par produit, on obtient :
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x\text{e}^x\right)=+\infty

C

Les limites d'un quotient

Une fonction peut être le quotient de deux (ou plus) fonctions. Dans de nombreux cas, l'étude des limites des deux fonctions la composant permet d'obtenir la limite cherchée de la fonction de départ.

Soient f et g deux fonctions réelles.

L et L' désignent deux réels.

\alpha désigne un nombre réel, -\infty ou +\infty.

On a alors le tableau suivant :

-
  • \lim\limits_{x\to 0}\sin(x)=0
  • \lim\limits_{x\to 0}\cos(x)=1

 

Donc, par quotient, on obtient :
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=0

  • \lim\limits_{x\to +\infty}\left(x^2\right)=+\infty
  • \lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1

 

Donc, par quotient, on obtient :
\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{1+\frac{1}{x^2}}=+\infty

D

Les limites d'une fonction composée

Une fonction peut être la composée de deux (ou plus) fonctions. Dans de nombreux cas, l'étude des limites des deux fonctions la composant permet d'obtenir la limite cherchée de la fonction de départ.

a, b et c désignent des réels, -\infty ou +\infty.

Soient f et g deux fonctions réelles.

Si \lim\limits_{x\to a}f(x)=b et \lim\limits_{x\to b}g(x)=c, alors :

\lim\limits_{x\to a}g(f(x))=c

Soit h la fonction définie sur ]0;+\infty[ par h(x)=\sin\left(\dfrac{1}{x}\right).

On a h(x)=g(f(x)) avec f(x)=\dfrac{1}{x} et g(x)=\sin(x).

  • \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0
  • \lim\limits_{x\to 0}g(x)=0

 

Par composition, on a :
\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=0

Soit :
\lim\limits_{x\to +\infty}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)=0

IV

Les limites des fonctions usuelles

Pour être capable de déterminer des limites de fonctions, il faut connaître les limites des fonctions usuelles.

A

Les fonctions affines

Parmi les fonctions usuelles les plus « simples », on trouve les fonctions affines dont les limites ne comportent pas beaucoup de cas différents.

Soit f:x\mapsto ax+b une fonction affine.

  • Si a>0, alors \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.
  • Si a<0, alors \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.
  • Si a=0, alors \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=b et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=b.

Soit f la fonction affine x\mapsto 3x−7.

f(x) est du type ax+b avec a=3.

Comme a=3 \gt 0, on a :
\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

B

Les fonctions polynômes du second degré

Les fonctions polynômes du second degré sont des fonctions usuelles fréquemment utilisées. Il est donc essentiel de connaître leurs limites.

Soit f:x\mapsto ax^2+bx+c une fonction polynôme du second degré (a\neq 0).

  • Si a>0, alors \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.
  • Si a<0, alors \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.
-

Soit f:x\mapsto −5x^2+3x.

f(x) est du type ax^2+bx+c avec a=−5, b=3 et c=0.

Comme a \lt 0, on a :
\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty

C

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée a un comportement aux bornes de son ensemble de définition qui découle du comportement de la fonction carré.

Soit f la fonction racine carrée.

On a :

  • \lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=0
  • \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty
-
D

La fonction cube

La fonction cube est également une fonction dont le comportement aux bornes de son ensemble de définition est à connaître.

Soit f la fonction cube.

On a :

  • \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty
  • \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty
-
E

La fonction inverse

La fonction inverse est également une fonction dont le comportement aux bornes de son ensemble de définition est à connaître.

Soit f la fonction inverse.

On a :

  • \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0
  • \lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty
  • \lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty
  • \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0
-
F

La fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue, réunissant les restrictions de deux fonctions affines, est également une fonction dont le comportement aux bornes de son ensemble de définition est à connaître.

Soit f la fonction valeur absolue.

On a :

  • \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty
  • \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty
-
G

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est également une fonction dont il faut connaître le comportement aux bornes de son ensemble de définition.

Soit f la fonction exponentielle.

On a :

  • \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0
  • \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty
-

Croissances comparées

Soit n un entier naturel.

  • \lim\limits_{x\to -\infty}x^n\text{e}^x=0
  • \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty

Démonstration du deuxième point.

Soit n un entier naturel.

 

  • 1er cas : n=1

 

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\text{e}^x-\dfrac{x^2}{2}.

f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f'(x)=\text{e}^x-x

f' est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f''(x)=\text{e}^x−1

Or \text{e}^x<1 sur ]-\infty;0[ et \text{e}^x>1 sur ]0;+\infty[.

Ainsi, f''(x)<0 sur sur ]-\infty;0[ et f''(x)>0 sur ]0;+\infty[.

La fonction f' est donc strictement décroissante sur ]-\infty;0[ et strictement croissante sur ]0;+\infty[.

La minimum de f'(x) est donc atteint en 0.

Or f'(0)=\text{e}^0−0=1.

Par conséquent, f'(x)>0 sur \mathbb{R}.

La fonction f est donc strictement croissante sur \mathbb{R}.

Or, f(0)=\text{e}^0-\dfrac{0^2}{2}=1.

Donc f(x)>0 sur ]0;+\infty[.

Ainsi \text{e}^x>\dfrac{x^2}{2} sur ]0;+\infty[.

En divisant par x>0, on obtient :
\dfrac{\text{e}^x}{x}>\dfrac{x}{2} sur ]0;+\infty[

Comme \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{2}=+\infty, on obtient, par comparaison :
\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty

 

  • 2e cas : n>1

 

Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{x^n}.

Soit x>0.

On a :
f(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{n}}}{x}\right)^n
f(x)=\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right)^n\times \left(\dfrac{1}{n}\right)^n
\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{n}=+\infty et \lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{\text{e}^X}{X}=+\infty d'après le premier cas.

Par composition, on obtient :
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right)=+\infty

En multipliant par \left(\dfrac{1}{n}\right)^n, on a bien :
\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty

D'après la propriété précédente, on a :

  • \lim\limits_{x\to -\infty}x^2\text{e}^x=0
  • \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^2}=+\infty