On pose :
f(x) = \dfrac{2x+\sin(x)}{x+1}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On sait d'après le cours que pour tout réel x :
-1 \leq \sin(x) \leq 1
On rajoute 2x à chaque membre de l'inéquation :
2x-1 \leq \sin(x) +2x \leq 2x +1
Comme on cherche la limite en +\infty, on s'intéresse au cas où x+1 >0 \Leftrightarrow x > -1.
Ainsi, pour tout réel x>-1, on a :
\dfrac{2x-1}{x+1} \leq f(x) \leq \dfrac{2x+1}{x+1}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Dans chaque cas, on est face à une forme indéterminée : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui tendent vers +\infty.
En factorisant par le terme de plus haut degré polynomial, on peut s'affranchir de la forme indéterminée.
Ainsi :
\dfrac{2x-1}{x+1} = \dfrac{x}{x} \times \dfrac{2 - \dfrac{1}{x} }{1+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{2 - \dfrac{1}{x} }{1+\dfrac{1}{x}}
Et :
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 2-\dfrac{1}{x} = 2
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1+\dfrac{1}{x} = 1
Ainsi, on trouve finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{2x-1}{x+1} = 2
De manière analogue, on peut prouver que :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }\dfrac{2x+1}{x+1} = 2
Par conséquent :
- pour tout réel supérieur strict à -1 : \dfrac{2x-1}{x+1} \leq f(x) \leq \dfrac{2x+1}{x+1} ;
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{2x+1}{x+1} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{2x-1}{x+1} = 2 .
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{\sin(x) +2x }{x+1}= 2
Donc \lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= 2 .
On pose :
f(x) = \dfrac{x\cos(x)}{x^2+1}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On sait d'après le cours que pour tout réel x :
-1 \leq \cos(x) \leq 1
Comme on recherche la limite en +\infty, on s'intéresse au cas où : x>0.
On peut multiplier par x sans changer le sens de l'inéquation :
-x \leq x\cos(x) \leq x pour tout réel x>0
Enfin, on sait que pour tout réel x : x^2+1 >0.
Donc on peut diviser par x^2+1 sans changer le sens de l'inéquation :
\dfrac{-x}{x^2+1} \leq f(x) \leq \dfrac{x}{x^2+1}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Dans chaque cas on est face à une forme indéterminée : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui tendent vers +\infty.
En factorisant par le terme de plus haut degré polynomial, on peut s'affranchir de la forme indéterminée.
Ainsi :
\dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{x}{x^2} \times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}
Et :
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{1}{x} = 0
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1+\dfrac{1}{x^2} = 1
Ainsi, on trouve finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x}{x^2+1} = 0
De manière analogue, on peut prouver que :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }\dfrac{-x}{x^2+1} = 0
Par conséquent :
- pour tout réel positif : \dfrac{-x}{x^2+1} \leq f(x) \leq \dfrac{x}{x^2+1} ;
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{-x}{x^2+1} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x}{x^2+1} = 0 .
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x\cos(x) }{x^2+1}= 0
Donc \lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= 0 .
On pose :
f(x) = \dfrac{x^2+2\sin(x)-\cos(x)}{2x^2}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On sait d'après le cours que, pour tout réel x :
- -1 \leq \cos(x) \leq 1
- -1 \leq \sin(x) \leq 1
Donc :
-3\leq 2\sin(x) -\cos(x) \leq 3
On ajoute x^2 aux membres de l'inéquation :
x^2-3 \leq x^2 +2\sin(x) -\cos(x) \leq x^2+3
Comme on recherche la limite en +\infty, on s'intéresse au cas où : x>0.
On peut diviser par 2x^2 sans changer le sens de l'inéquation :
\dfrac{x^2-3}{2x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{x^2+3}{2x^2}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Dans chaque cas, on est face à une forme indéterminée : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui tendent vers +\infty.
En factorisant par le terme de plus haut degré polynomial, on peut s'affranchir de la forme indéterminée.
Ainsi :
\dfrac{x^2+3}{2x^2} = \dfrac{x^2}{x^2} \times \dfrac{1+\dfrac{3}{x^2}}{2}=\dfrac{1+\dfrac{3}{x^2}}{2}
Et :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1+\dfrac{3}{x^2} = 1
Ainsi, on trouve finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x^2+3}{2x^2} = \dfrac{1}{2}
De manière analogue, on peut prouver que :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }\dfrac{x^2-3}{2x^2} = \dfrac{1}{2}
Par conséquent :
- pour tout réel positif : \dfrac{x^2-3}{2x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{x^2+3}{2x^2} ;
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x^2-3}{2x^2} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x^2+3}{2x^2} = \dfrac{1}{2} .
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x^2 +2\sin(x) -\cos(x) }{2x^2}= \dfrac{1}{2}
Donc \lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= \dfrac{1}{2} .
On pose :
f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On commence par encadrer le terme sous la racine par des nombres au carré afin d'obtenir des expressions simplifiées dans notre encadrement.
On sait que, pour tout réel x :
x^2 \leq x^2 +1
De plus, on a :
x^2+1 -(x+1)^2 = -2x
Comme on étudie la limite en +\infty, on ne s'intéresse qu'au cas où x>0, donc :
x^2+1-(x+1)^2 \leq 0 \Leftrightarrow x^2+1 \leq (x+1)^2
Ainsi, on a l'encadrement pour tout x positif :
x^2 \leq 1+x^2 \leq (1+x)^2
Comme la fonction racine est croissante sur \mathbb{R}_+ on peut composer par cette fonction sans changer le sens de l'inéquation :
\sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{(x+1)^2} \Leftrightarrow x \leq \sqrt{x^2+1} \leq x+1
Finalement, on peut diviser par x>0 sans modifier le sens :
1 \leq f(x) \leq \dfrac{x+1}{x}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Dans le cas de droite on est face à une forme indéterminée : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui tendent vers +\infty.
En factorisant par le terme de plus haut degré polynomial, on peut s'affranchir de la forme indéterminée.
Ainsi :
\dfrac{x+1}{x} = \dfrac{x}{x} \times \dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1}=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1}
Et :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1+\dfrac{1}{x} = 1
Ainsi, on trouve finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x+1}{x} = 1
Par conséquent :
- pour tout réel positif : 1 \leq f(x) \leq \dfrac{x+1}{x}
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x+1}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1= 1
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}= 1
Donc \lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= 1 .
On pose :
f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On sait que pour tout réel x :
x \leq x +1
Comme on s'intéresse à la limite en +\infty, on s'intéresse au cas où x>0 :
Comme la fonction racine est croissante sur \mathbb{R}_+ , on peut composer par cette fonction sans changer le sens de l'inéquation :
\sqrt{x}\leq \sqrt{x+1}
On ajoute \sqrt{x} :
2\sqrt{x} \leq \sqrt{x+1} + \sqrt{x}
Finalement, par décroissance de la fonction inverse sur \mathbb{R}^{+*} :
f(x) \leq \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Or, comme le dénominateur et le numérateur de f sont toujours positifs on a aussi :
0 \leq f(x) pour tout x positif
Finalement, on a l'encadrement :
0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Il n'y a pas de forme indéterminée, on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 0
Par conséquent :
- pour tout réel positif : 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ;
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 0= 0 .
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}= 0
Donc \lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= 0 .