Quelle est la limite en -\infty de f(x) = \dfrac{-\sqrt{-2x+4} }{\sin\left(x^2\right)+2} définie sur D=]-\infty,2] ?
D'après le cours et ce qui est rappelé dans l'énoncé, on a :
-1 \leq \sin(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cette expression grâce aux opérations sur les inégalités pour obtenir f(x).
Tout d'abord, comme l'expression -1 \leq \sin(x) \leq 1 est vraie pour tout réel x, elle est également vraie en substituant x par x^2.
On a donc :
-1 \leq \sin(x^2)\leq 1
\Leftrightarrow 0< 1 \leq \sin(x^2) +2 \leq 3
Par décroissance de la fonction inverse sur \mathbb{R}_+^* , on peut composer par la fonction inverse en changeant le sens de l'inéquation :
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{\sin(x^2)+2} \leq 1
Finalement, comme -\sqrt{-2x + 4} \leq 0 sur D, on peut multiplier par \sqrt{-2x+4} en changeant le sens des inégalités :
\Leftrightarrow \dfrac{-\sqrt{-2x + 4}}{3} \geq \dfrac{-\sqrt{-2x + 4}}{\sin(x^2)+2} \geq -\sqrt{-2x + 4}
Pour obtenir un majorant, on peut simplement se débarrasser du membre de droite dans l'encadrement, qui n'est plus utile :
\dfrac{\sqrt{-2x + 4}}{\sin(x^2)+2} \leq \dfrac{-\sqrt{-2x + 4}}{3}
Ainsi, pour tout x\in D , on a :
f(x) \leq \dfrac{-\sqrt{-2x + 4}}{3}
On détermine maintenant :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } -\sqrt{-2x+4}
x \mapsto -2x+4 est une fonction affine décroissante, donc :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } (-2x+4) = +\infty
Par composition de limite par la fonction racine, continue sur \mathbb{R_+} :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } \sqrt{-2x+4} = +\infty
Enfin, en multipliant par -1 <0 :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty} -\sqrt{-2x+4} = -\infty
Comme pour tout x\in D : f(x) \leq \dfrac{-\sqrt{-2x+4}}{3} , d'après le théorème de comparaison on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) = -\infty
Quelle est la limite en -\infty de f(x) = x^3+\sin(x)+2x^2 définie sur \mathbb{R} ?
D'après le cours et ce qui est rappelé dans l'énoncé, on a donc :
-1 \leq \sin(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cette expression grâce aux opérations sur les inégalités pour obtenir f(x).
En ajoutant x^3+2x^2 à chaque membre de l'encadrement précédent, on obtient :
x^3 +2x^2 -1 \leq f(x) \leq x^3 +2x^2 +1
x\mapsto x^3 +2x^2 +1 est une fonction polynomiale dont la limite en -\infty est indéterminée.
Pour lever l'indétermination, on factorise l'expression par le terme de plus haut degré :
Pour tout réel x\neq 0, x^3+2x^2+1=x^3\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^3}\right)
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{2}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x^3}=0
Par somme, \lim\limits_{x\rightarrow-\infty} \left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^3}\right)=1.
Or \lim\limits_{x\rightarrow-\infty} x^3=-\infty.
Par produit, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} x^3+2x^2+1=-\infty
Comme f(x) \leq x^3+2x^2+1 , pour tout réel x, d'après le théorème de comparaison à l'infini on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) = -\infty
Quelle est la limite en -\infty de f(x) = \dfrac{-2x^2-2}{\cos(x)+5 } définie sur \mathbb{R} ?
D'après le cours et ce qui est rappelé dans l'énoncé, on a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
Ainsi :
4 \leq \cos(x) +5 \leq 6
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur \mathbb{R}_+^*, on peut composer cette inéquation en changeant le sens :
\dfrac{1}{6} \leq \dfrac{1}{\cos(x) +5 } \leq \dfrac{1}{4}
Comme -2x^2-2 \leq 0 sur \mathbb{R}_- et qu'on étudie la limite en -\infty, on peut multiplier chaque membre de l'encadrement par -2x^2-2 en en changeant le sens des inégalités :
\dfrac{-2x^2-2}{4} \leq \dfrac{-2x^2-2}{\cos(x) +5} \leq \dfrac{-2x^2-2}{6}
x\mapsto -2x^2-2 est une fonction polynomiale de degré 2.
Sa courbe représentative est une parabole orientée « vers le bas » car son coefficient de degré est strictement négatif.
Donc :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \left(-2x^2-2\right)=-\infty
On en déduit :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \left( \dfrac{-2x^2-2}{6}\right)=-\infty
Comme f(x) \leq \dfrac{-2x-2}{6} , d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) = -\infty
Quelle est la limite en -\infty de f(x) = x+\cos(x) définie sur \mathbb{R} ?
D'après le cours et ce qui est rappelé dans l'énoncé, on a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cette expression grâce aux opérations sur les inégalités pour obtenir f(x).
En ajoutant x à chaque membre de l'encadrement précédent, on obtient :
x -1 \leq f(x) \leq x+1
x\rightarrow x +1 est une fonction affine strictement croissante sur \mathbb{R}.
On en déduit :
\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} (x+1)=-\infty
Comme f(x) \leq x+1 pour tout réel x, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) = -\infty
Quelle est la limite en +\infty de f(x) = -x^2+\cos(x)-2\sin(x) définie sur \mathbb{R} ?
D'après le cours, pour tout réel x, on a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 (*) et -1 \leq \sin(x) \leq 1
On en déduit, en multipliant le dernier encadrement par -2 :
-2 \leq -2\sin(x)\leq 2 . (**)
En additionnant membre à membre les encadrements (*) et (**), on obtient :
-3 \leq \cos(x) -2 \sin(x) \leq 3
Finalement, en ajoutant à chaque membre du dernier encadrement -2x^2, on a :
-2x^2-3 \leq f(x) \leq -2x^2+3 pour tout réel x
x\mapsto -2x^2 +3 est une fonction polynomiale de degré 2.
Sa courbe représentative est une parabole orientée « vers le bas » car son coefficient de degré 2 est strictement négatif.
Donc :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \left(-2x^2+3\right)=-\infty
Comme f(x) \leq -2x^2 +3 pour tout réel x, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) = -\infty
On pose, pour tout réel x\in D=[2;+\infty[ :
f(x) =\dfrac{\sqrt{3x-6}}{\cos(x)+2}
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cet encadrement afin d'obtenir f(x) dans le terme du milieu et un minorant dans le terme de gauche.
Or, -1 \leq \cos(x) \leq 1 \Leftrightarrow 0 < 1 \leq \cos(x) +2 \leq 3 (On ajoute 2 à chaque membre de l'inégalité).
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{\cos(x)+2} \leq 1 (en composant par la fonction inverse décroissante sur \mathbb{R}_+^*)
On peut maintenant se débarrasser du terme de droite et multiplier par \sqrt{3x-6} \geq 0 sur D.
Ainsi :
\dfrac{\sqrt{3x-6}}{3} \leq \dfrac{\sqrt{3x-6}}{\cos(x)+2} pour tout réel x\geq 2
Finalement :
\dfrac{\sqrt{3x-6}}{3} \leq f(x) sur D
Or, on sait que :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} (3x-6) = +\infty
et
\lim\limits_{X\rightarrow + \infty} \sqrt{X} = +\infty
Par composition et division par 3 qui est strictement positif, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{3x-6}}{3} = +\infty
Ainsi, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x)= +\infty
On pose pour tout réel x :
f(x) =\cos(x) + x
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cet encadrement afin d'obtenir f(x) dans le terme du milieu et un minorant dans le terme de gauche.
On ajoute x à chaque membre de l'encadrement :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 \Leftrightarrow -1+x \leq f(x) \leq 1+x
Or x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante, donc :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} (x-1) = +\infty
Or, on sait que :
x-1 \leq f(x) pour tout réel x
Ainsi, d'après le théorème de comparaison à l'infini, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x)= +\infty
On pose :
f(x) =x^3 -2x^2 +3\cos(x)
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On a :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 pour tout réel x
L'objectif est de transformer cet encadrement afin d'obtenir f(x) dans le terme du milieu et un minorant dans le terme de gauche.
On multiplie par 3>0 chaque membre de l'encadrement :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 \Leftrightarrow -3 \leq 3\cos(x) \leq 3
On ajoute x^3-2x^2 aux membres de l'encadrement :
x^3-2x^2-3 \leq f(x) \leq x^3-2x^2 +3 pour tout réel x
Or, la fonction x\mapsto x^3-2x^2-3 est une fonction polynomiale de degré 3 dont la limite en +\infty est indéterminée.
Pour lever cette indétermination, on factorise par le terme de plus haut degré :
Pour tout réel x\neq 0, on a :
x^3-2x^2-3=x^3\left(1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^3}\right)
Or, \lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{2}{x}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{3}{x^3}\right)=0.
Par somme, on obtient :
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^3}\right)
Or, \lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty.
Par produit, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \left(x^3-2x^2-3\right) = +\infty
Or, on sait que :
x^3-2x^2-3 \leq f(x) pour tout réel x
Ainsi, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x)= +\infty
On pose, pour tout réel x :
f(x) =2x^2 -\sin(x) +3\cos(x)
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } f(x) ?
On a, pour tout réel x :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 donc -3 \leq 3\cos(x) \leq 3
Et :
-1 \leq \sin(x) \leq 1 donc -1 \leq -\sin(x) \leq 1
En additionnant les encadrements, on obtient :
-4\leq -\sin(x) +3\cos(x) \leq 4
Finalement, en ajoutant 2x^2 à chaque membre de l'encadrement précédent, on a :
2x^2-4 \leq f(x) \leq 2x^2+4
Or, la fonction x\mapsto 2x^2 -4 est une fonction polynomiale du second degré.
Sa courbe représentative est une parabole orientée « vers le haut » car son coefficient de degré 2 est strictement positif.
On en déduit :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \left(2x^2-4\right) = +\infty
Or, on sait que :
2x^2-4 \leq f(x) pour tout réel x
Ainsi, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty} f(x)= +\infty
On pose, pour tout réel x\in D=]0;+\infty[ :
f(x) = \dfrac{\ln(x)}{\cos(x)+2}
Quelle est la limite \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On a pour tout réel x :
-1 \leq \cos(x) \leq 1 donc 1 \leq \cos(x)+2 \leq 3
La fonction inverse étant strictement décroissante sur \mathbb{R}_+^*, on peut composer par la fonction inverse en changeant le sens des inégalités de cet encadrement.
On obtient :
\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{\cos(x)+2 }\leq 1
On sait que \ln(x) \geq 0 pour tout x \geq 1 .
Or ici, on étudie la limite en \+\infty\), donc on peut multiplier par \ln(x) sans modifier le sens des inégalités :
\dfrac{\ln(x)}{3} \leq f(x) \leq \ln(x) pour tout x\geq 1
De plus, on sait que :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{\ln(x)}{3}=\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty
Or, on a :
\dfrac{\ln(x)}{3} \leq f(x) pour tout réel x supérieur ou égal à 1.
Ainsi, d'après le théorème de comparaison, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x)= +\infty
On pose :
f(x) = \dfrac{2x+\sin(x)}{x+1}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On sait d'après le cours que pour tout réel x :
-1 \leq \sin(x) \leq 1
On rajoute 2x à chaque membre de l'inéquation :
2x-1 \leq \sin(x) +2x \leq 2x +1
Comme on cherche la limite en +\infty, on s'intéresse au cas où x+1 >0 \Leftrightarrow x > -1.
Ainsi, pour tout réel x>-1, on a :
\dfrac{2x-1}{x+1} \leq f(x) \leq \dfrac{2x+1}{x+1}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Dans chaque cas, on est face à une forme indéterminée : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui tendent vers +\infty.
En factorisant par le terme de plus haut degré polynomial, on peut s'affranchir de la forme indéterminée.
Ainsi :
\dfrac{2x-1}{x+1} = \dfrac{x}{x} \times \dfrac{2 - \dfrac{1}{x} }{1+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{2 - \dfrac{1}{x} }{1+\dfrac{1}{x}}
Et :
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 2-\dfrac{1}{x} = 2
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1+\dfrac{1}{x} = 1
Ainsi, on trouve finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{2x-1}{x+1} = 2
De manière analogue, on peut prouver que :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }\dfrac{2x+1}{x+1} = 2
Par conséquent :
- pour tout réel supérieur strict à -1 : \dfrac{2x-1}{x+1} \leq f(x) \leq \dfrac{2x+1}{x+1} ;
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{2x+1}{x+1} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{2x-1}{x+1} = 2 .
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{\sin(x) +2x }{x+1}= 2
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= 2
On pose :
f(x) = \dfrac{x\cos(x)}{x^2+1}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On sait d'après le cours que pour tout réel x :
-1 \leq \cos(x) \leq 1
Comme on recherche la limite en +\infty, on s'intéresse au cas où : x>0.
On peut multiplier par x sans changer le sens de l'inéquation :
-x \leq x\cos(x) \leq x pour tout réel x>0
Enfin, on sait que pour tout réel x : x^2+1 >0.
Donc on peut diviser par x^2+1 sans changer le sens de l'inéquation :
\dfrac{-x}{x^2+1} \leq f(x) \leq \dfrac{x}{x^2+1}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Dans chaque cas on est face à une forme indéterminée : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui tendent vers +\infty.
En factorisant par le terme de plus haut degré polynomial, on peut s'affranchir de la forme indéterminée.
Ainsi :
\dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{x}{x^2} \times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}
Et :
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{1}{x} = 0
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1+\dfrac{1}{x^2} = 1
Ainsi, on trouve finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x}{x^2+1} = 0
De manière analogue, on peut prouver que :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }\dfrac{-x}{x^2+1} = 0
Par conséquent :
- pour tout réel positif : \dfrac{-x}{x^2+1} \leq f(x) \leq \dfrac{x}{x^2+1} ;
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{-x}{x^2+1} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x}{x^2+1} = 0 .
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x\cos(x) }{x^2+1}= 0
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= 0
On pose :
f(x) = \dfrac{x^2+2\sin(x)-\cos(x)}{2x^2}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On sait d'après le cours que, pour tout réel x :
- -1 \leq \cos(x) \leq 1
- -1 \leq \sin(x) \leq 1
Donc :
-3\leq 2\sin(x) -\cos(x) \leq 3
On ajoute x^2 aux membres de l'inéquation :
x^2-3 \leq x^2 +2\sin(x) -\cos(x) \leq x^2+3
Comme on recherche la limite en +\infty, on s'intéresse au cas où : x>0.
On peut diviser par 2x^2 sans changer le sens de l'inéquation :
\dfrac{x^2-3}{2x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{x^2+3}{2x^2}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Dans chaque cas, on est face à une forme indéterminée : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui tendent vers +\infty.
En factorisant par le terme de plus haut degré polynomial, on peut s'affranchir de la forme indéterminée.
Ainsi :
\dfrac{x^2+3}{2x^2} = \dfrac{x^2}{x^2} \times \dfrac{1+\dfrac{3}{x^2}}{2}=\dfrac{1+\dfrac{3}{x^2}}{2}
Et :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1+\dfrac{3}{x^2} = 1
Ainsi, on trouve finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x^2+3}{2x^2} = \dfrac{1}{2}
De manière analogue, on peut prouver que :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }\dfrac{x^2-3}{2x^2} = \dfrac{1}{2}
Par conséquent :
- pour tout réel positif : \dfrac{x^2-3}{2x^2} \leq f(x) \leq \dfrac{x^2+3}{2x^2} ;
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x^2-3}{2x^2} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x^2+3}{2x^2} = \dfrac{1}{2} .
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x^2 +2\sin(x) -\cos(x) }{2x^2}= \dfrac{1}{2}
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= \dfrac{1}{2}
On pose :
f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On commence par encadrer le terme sous la racine par des nombres au carré afin d'obtenir des expressions simplifiées dans notre encadrement.
On sait que, pour tout réel x :
x^2 \leq x^2 +1
De plus, on a :
x^2+1 -(x+1)^2 = -2x
Comme on étudie la limite en +\infty, on ne s'intéresse qu'au cas où x>0, donc :
x^2+1-(x+1)^2 \leq 0 \Leftrightarrow x^2+1 \leq (x+1)^2
Ainsi, on a l'encadrement pour tout x positif :
x^2 \leq 1+x^2 \leq (1+x)^2
Comme la fonction racine est croissante sur \mathbb{R}_+ on peut composer par cette fonction sans changer le sens de l'inéquation :
\sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{(x+1)^2} \Leftrightarrow x \leq \sqrt{x^2+1} \leq x+1
Finalement, on peut diviser par x>0 sans modifier le sens :
1 \leq f(x) \leq \dfrac{x+1}{x}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Dans le cas de droite on est face à une forme indéterminée : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui tendent vers +\infty.
En factorisant par le terme de plus haut degré polynomial, on peut s'affranchir de la forme indéterminée.
Ainsi :
\dfrac{x+1}{x} = \dfrac{x}{x} \times \dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1}=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1}
Et :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1+\dfrac{1}{x} = 1
Ainsi, on trouve finalement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x+1}{x} = 1
Par conséquent :
- pour tout réel positif : 1 \leq f(x) \leq \dfrac{x+1}{x}
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{x+1}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 1= 1
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}= 1
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= 1
On pose :
f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}
En s'aidant d'un encadrement, quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) ?
On sait que pour tout réel x :
x \leq x +1
Comme on s'intéresse à la limite en +\infty, on s'intéresse au cas où x>0 :
Comme la fonction racine est croissante sur \mathbb{R}_+ , on peut composer par cette fonction sans changer le sens de l'inéquation :
\sqrt{x}\leq \sqrt{x+1}
On ajoute \sqrt{x} :
2\sqrt{x} \leq \sqrt{x+1} + \sqrt{x}
Finalement, par décroissance de la fonction inverse sur \mathbb{R}^{+*} :
f(x) \leq \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Or, comme le dénominateur et le numérateur de f sont toujours positifs on a aussi :
0 \leq f(x) pour tout x positif
Finalement, on a l'encadrement :
0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
On détermine maintenant la limite des membres extérieurs de l'encadrement.
Il n'y a pas de forme indéterminée, on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 0
Par conséquent :
- pour tout réel positif : 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ;
- \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty } 0= 0 .
D'après le théorème d'encadrement :
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty } \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}= 0
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty }f(x)= 0