Démontrer qu'une courbe admet une asymptote horizontale

La courbe représentative d'une fonction f peut admettre une asymptote horizontale en \(\displaystyle{+\infty}\) et/ou en \(\displaystyle{-\infty}\). Une même droite peut être asymptote horizontale à la fois en \(\displaystyle{+\infty}\) et \(\displaystyle{-\infty}\).

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left] 4;+\infty \right[}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=\dfrac{2x-3}{x-4}}\)

Déterminer les éventuelles asymptotes horizontales de \(\displaystyle{C_{f}}\).

Etape 1

Déterminer la limite de f en \(\displaystyle{+\infty}\)

On détermine tout d'abord \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f\left( x \right)}\).

Pour déterminer la limite de f en \(\displaystyle{+\infty}\), on factorise numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré. On a donc :

\(\displaystyle{\forall x\in \left]4;+\infty \right[, f\left( x \right)=\dfrac{x\left( 2-\dfrac{3}{x} \right)}{x\left( 1-\dfrac{4}{x} \right)}=\dfrac{2-\dfrac{3}{x} }{ 1-\dfrac{4}{x} }}\)

Or :

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left(2-\dfrac{3}{x}\right)=2}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left(1-\dfrac{4}{x}\right)=1}\)

Donc :

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f\left( x \right)=2}\)

Etape 2

Conclure sur l'existence d'une asymptote horizontale

Si la limite trouvée est un réel a, on en déduit que la droite d'équation \(\displaystyle{y=a}\) est asymptote horizontale à \(\displaystyle{C_{f}}\) en \(\displaystyle{+\infty}\).
Si la limite trouvée est \(\displaystyle{+\infty}\) ou \(\displaystyle{-\infty}\), alors \(\displaystyle{C_{f}}\) n'admet pas d'asymptote horizontale en \(\displaystyle{+\infty}\).

On a :

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f\left( x \right)=2}\)

On en déduit que la droite d'équation \(\displaystyle{y=2}\) est asymptote horizontale à \(\displaystyle{C_{f}}\) en \(\displaystyle{+\infty}\).

Etape 3

Répliquer éventuellement le procédé en \(\displaystyle{-\infty}\)

Si le domaine de définition de la fonction le permet, on procède de la même manière pour déterminer l'existence d'une asymptote en \(\displaystyle{-\infty}\).

La fonction f étant définie sur \(\displaystyle{\left] 4;+\infty \right[}\), sa courbe représentative ne peut pas admettre d'asymptote horizontale en \(\displaystyle{-\infty}\).