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  4. Méthode : Démontrer qu'une courbe admet une asymptote horizontale

Démontrer qu'une courbe admet une asymptote horizontale Méthode

Sommaire

1Déterminer la limite de f en +\infty 2Conclure sur l'existence d'une asymptote horizontale 3Répliquer éventuellement le procédé en -\infty

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 15/11/2020 - Conforme au programme 2024-2025

La courbe représentative d'une fonction f peut admettre une asymptote horizontale en +\infty et/ou en -\infty. Une même droite peut être asymptote horizontale à la fois en +\infty et -\infty.

On considère la fonction f définie sur \left] 4;+\infty \right[ par :

f\left( x \right)=\dfrac{2x-3}{x-4}

Déterminer les éventuelles asymptotes horizontales de C_{f}.

Etape 1

Déterminer la limite de f en +\infty

On détermine tout d'abord \lim\limits_{x \to +\infty}f\left( x \right).

Pour déterminer la limite de f en +\infty, on factorise numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré. On a donc :

\forall x\in \left]4;+\infty \right[, f\left( x \right)=\dfrac{x\left( 2-\dfrac{3}{x} \right)}{x\left( 1-\dfrac{4}{x} \right)}=\dfrac{2-\dfrac{3}{x} }{ 1-\dfrac{4}{x} }

Or :

  • \lim\limits_{x \to +\infty}\left(2-\dfrac{3}{x}\right)=2
  • \lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-\dfrac{4}{x}\right)=1

Donc :

\lim\limits_{x \to +\infty}f\left( x \right)=2

Etape 2

Conclure sur l'existence d'une asymptote horizontale

  • Si la limite trouvée est un réel a, on en déduit que la droite d'équation y=a est asymptote horizontale à C_{f} en +\infty.
  • Si la limite trouvée est +\infty ou -\infty, alors C_{f} n'admet pas d'asymptote horizontale en +\infty.

On a :

\lim\limits_{x \to +\infty}f\left( x \right)=2

On en déduit que la droite d'équation y=2 est asymptote horizontale à C_{f} en +\infty.

Etape 3

Répliquer éventuellement le procédé en -\infty

Si le domaine de définition de la fonction le permet, on procède de la même manière pour déterminer l'existence d'une asymptote en -\infty.

La fonction f étant définie sur \left] 4;+\infty \right[, sa courbe représentative ne peut pas admettre d'asymptote horizontale en -\infty.

La charte éditoriale garantit la conformité des contenus aux programmes officiels de l'Éducation nationale. en savoir plus

Les cours et exercices sont rédigés par l'équipe éditoriale de Kartable, composéee de professeurs certififés et agrégés. en savoir plus

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  • Cours : Les limites de fonctions
  • Quiz : Les limites de fonctions
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  • Exercice : Connaître les caractéristiques des limites finies de fonctions
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  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une fonction divergente
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