Première ES 2016-2017

En vous inscrivant, vous autorisez Kartable à vous envoyer ses communications par email.

ou
Se connecter
Mot de passe oublié ?
ou

Montrer qu'une suite est arithmétique et donner sa forme explicite

Une suite arithmétique est une suite telle que \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{u_{n+1} = u_n +r}\), avec \(\displaystyle{r\in \mathbb{R}}\). On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel r.

Une fois que l'on a identifié une suite arithmétique, on peut donner sa forme explicite.

On considère la suite définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n = \left(n+2\right)^2-n^2}\)

Montrer que \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite arithmétique et donner sa forme explicite.

Etape 1

Calculer \(\displaystyle{u_{n+1}-u_n}\)

Pour tout entier n, on calcule \(\displaystyle{u_{n+1}-u_n}\).

Soit n un entier naturel. On calcule :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n = \left[ \left(n+3\right)^2-\left(n+1\right)^2 \right]-\left[ \left(n+2\right)^2-n^2 \right]}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n = \left[ n^2+6n+9-n^2-2n-1 \right]-\left[n^2+4n+4-n^2 \right]}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n = \left[ 4n+8\right]-\left[4n+4 \right]}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n = 4n+8-4n-4}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n = 4}\)

Etape 2

Conclure que \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est arithmétique

S'il existe un réel r, tel que \(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_{n+1}-u_n = r}\), alors on conclut que \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est arithmétique.

On précise la valeur de sa raison r et de son premier terme (en général \(\displaystyle{u_0}\) ).

Lorsque l'on montre que pour tout entier n, \(\displaystyle{u_{n+1}- u_n =r }\), la raison r doit être un réel qui ne dépend pas de n.

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=4 \in \mathbb{R}}\).

Donc \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est arithmétique de raison \(\displaystyle{r=4}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0 = \left(0+2\right)^2-0^2= 4}\).

Etape 3

Donner l'écriture explicite de \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\)

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est arithmétique de raison r et de premier terme \(\displaystyle{u_0}\), alors :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n = u_0+nr}\)

Plus généralement, si le premier terme est \(\displaystyle{u_p}\), alors :

\(\displaystyle{\forall n \geq p}\), \(\displaystyle{u_n = u_p+\left(n-p\right)r}\)

Comme \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est arithmétique de raison \(\displaystyle{r=4}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=4}\), alors \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n = u_0 + nr}\).

Ainsi :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n = 4+4n = 4\left(n+1\right)}\)