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Montrer qu'une suite est géométrique et donner sa forme explicite

Une suite géométrique est une suite \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) telle que \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_{n+1} = v_n \times q}\), avec \(\displaystyle{q\in \mathbb{R}}\). On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel q.

Une fois que l'on a identifié une suite géométrique, on peut donner sa forme explicite.

Soit la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right) }\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0 = 2 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} = 3u_n -1\end{cases}}\)

Soit la suite \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_n =u_n -\dfrac{1}{2}}\)

Montrer que \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est géométrique. Donner sa forme explicite.

Etape 1

Exprimer \(\displaystyle{v_{n+1}}\) en fonction de \(\displaystyle{v_n}\)

Pour tout entier n, on calcule \(\displaystyle{v_{n+1}}\) et on fait apparaître l'expression de \(\displaystyle{v_n}\), pour pouvoir exprimer \(\displaystyle{v_{n+1}}\) en fonction de \(\displaystyle{v_n}\).

On cherche à obtenir un résultat de la forme : \(\displaystyle{v_{n+1} = v_n \times q }\), avec \(\displaystyle{q \in\mathbb{R}}\).

On calcule \(\displaystyle{v_{n+1}}\) :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_{n+1} =u_{n+1} -\dfrac{1}{2} = 3u_n -1 - \dfrac{1}{2} = 3u_n -\dfrac{3}{2}}\)

On exprime ensuite \(\displaystyle{v_{n+1}}\) en fonction de \(\displaystyle{v_n}\).

On sait que :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_{n} =u_{n} -\dfrac{1}{2} }\)

Donc :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_{n} =v_{n} +\dfrac{1}{2} }\)

Ainsi :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_{n+1} =3\left(v_{n} +\dfrac{1}{2} \right) -\dfrac{3}{2} = 3v_{n} +\dfrac{3}{2} -\dfrac{3}{2} = 3v_n }\)

Etape 2

Conclure que \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est géométrique

Si \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_{n+1}=v_n\times q}\), avec \(\displaystyle{q \in \mathbb{R}}\), alors \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est une suite géométrique.

On précise la valeur de sa raison q et de son premier terme (en général \(\displaystyle{v_0}\) ).

Lorsque l'on montre que pour tout entier n, \(\displaystyle{v_{n+1}= v_n \times q }\), la raison q doit être un réel qui ne dépend pas de n.

Pour tout entier n, on a \(\displaystyle{v_{n+1} = 3v_n}\).

Donc \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est géométrique de raison \(\displaystyle{q=3}\) et de premier terme \(\displaystyle{v_0 = u_0-\dfrac{1}{2} = 2-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}}\).

Etape 3

Donner l'expression de \(\displaystyle{v_n }\) en fonction de n

Si \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est géométrique de raison q et de premier terme \(\displaystyle{v_0}\), alors :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_n = v_0 \times q^n}\)

Plus généralement, si le premier terme est \(\displaystyle{v_p}\), alors :

\(\displaystyle{\forall n \geq p}\), \(\displaystyle{v_n = v_p\times q^{n-p}}\)

Comme \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est géométrique de raison \(\displaystyle{q=3}\) et de premier terme \(\displaystyle{v_0=\dfrac{3}{2}}\), alors \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_n = v_0 \times q^n}\).

Ainsi :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{v_n = \dfrac{3}{2}\times 3^n}\)

Pour montrer qu'une suite \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est géométrique, on peut également montrer qu'il existe un réel q tel que pour tout entier n, \(\displaystyle{\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = q}\).

Cependant, on ne peut utiliser cette méthode que si l'on a préalablement montré que pour tout entier n, \(\displaystyle{v_n \neq 0}\).

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