Première L 2016-2017
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Première L 2016-2017

Montrer qu'une suite est géométrique et donner sa forme explicite

Une suite géométrique est une suite (vn) telle que n, vn+1=vn×q, avec q. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel q.

Une fois que l'on a identifié une suite géométrique, on peut donner sa forme explicite.

Soit la suite (un) définie par :

u0=2n,un+1=3un1

Soit la suite (vn) définie par :

n, vn=un12

Montrer que (vn) est géométrique. Donner sa forme explicite.

Etape 1

Exprimer vn+1 en fonction de vn

Pour tout entier n, on calcule vn+1 et on fait apparaître l'expression de vn, pour pouvoir exprimer vn+1 en fonction de vn.

On cherche à obtenir un résultat de la forme : vn+1=vn×q, avec q.

On calcule vn+1 :

n, vn+1=un+112=3un112=3un32

On exprime ensuite vn+1 en fonction de vn.

On sait que :

n, vn=un12

Donc :

n, un=vn+12

Ainsi :

n, vn+1=3(vn+12)32=3vn+3232=3vn

Etape 2

Conclure que (vn) est géométrique

Si n, vn+1=vn×q, avec q, alors (vn) est une suite géométrique.

On précise la valeur de sa raison q et de son premier terme (en général v0 ).

Lorsque l'on montre que pour tout entier n, vn+1=vn×q, la raison q doit être un réel qui ne dépend pas de n.

Pour tout entier n, on a vn+1=3vn.

Donc (vn) est géométrique de raison q=3 et de premier terme v0=u012=212=32.

Etape 3

Donner l'expression de vn en fonction de n

Si (vn) est géométrique de raison q et de premier terme v0, alors :

n, vn=v0×qn

Plus généralement, si le premier terme est vp, alors :

np, vn=vp×qnp

Comme (vn) est géométrique de raison q=3 et de premier terme v0=32, alors n, vn=v0×qn.

Ainsi :

n, vn=32×3n

Pour montrer qu'une suite (vn) est géométrique, on peut également montrer qu'il existe un réel q tel que pour tout entier n, vn+1vn=q.

Cependant, on ne peut utiliser cette méthode que si l'on a préalablement montré que pour tout entier n, vn0.

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