Première S 2016-2017

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Montrer qu'une suite est bornée

Une suite est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.

Soit la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}}\)

Montrer que la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est bornée.

Etape 1

Montrer que la suite est majorée

Si le majorant M est donné dans l'énoncé, on montre que \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est majorée par M. Pour cela, on montre que \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n\leq M}\).

Si le majorant M n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.

Une suite négative est majorée par 0.

Soit la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n = -\dfrac{1}{n}}\).

On sait que \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n\lt 0}\)

Ainsi, \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est majorée par 0.

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}}\).

On remarque que :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{n+1 \lt 2n+3}\)

Or, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{n+1 \gt 0}\) et \(\displaystyle{2n+3 \gt 0}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{\dfrac{n+1}{2n+3} \lt 1}\)

Donc :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n \lt 1}\)

Ainsi, la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est majorée par 1.

Une suite décroissante est majorée par son premier terme.

Etape 2

Montrer que la suite est minorée

Si le minorant m est donné dans l'énoncé, on montre que \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est minorée par m. Pour cela, on montre que \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n\geqslant m}\).

Si le minorant m n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.

Une suite positive est forcément minorée par 0.

Soit la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}^*}\), \(\displaystyle{u_n = \dfrac{1}{n}}\).

On sait que \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}^*}\), \(\displaystyle{u_n\gt 0}\)

Ainsi, \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est minorée par 0.

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}}\).

On remarque que :

  • \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{n+1 \gt 0}\)
  • \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{2n+3\gt 0}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{\dfrac{n+1}{2n+3} \gt 0}\)

Donc :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n \gt 0}\)

Ainsi, la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est minorée par 0.

Une suite croissante est minorée par son premier terme.

Etape 3

Conclure

On récite le cours : une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. On en conclut donc que la suite est bornée.

\(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est à la fois majorée par 1 et minorée par 0. Elle est donc bornée.

Chapitre 5 Les suites
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Formulaire

Les suites