Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

Montrer qu'une suite est arithmétique et donner sa forme explicite

Une suite arithmétique est une suite telle que n, un+1=un+r, avec r. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel r.

Une fois que l'on a identifié une suite arithmétique, on peut donner sa forme explicite.

On considère la suite définie par :

n, un=(n+2)2n2

Montrer que (un) est une suite arithmétique et donner sa forme explicite.

Etape 1

Calculer un+1un

Pour tout entier n, on calcule un+1un.

Soit n un entier naturel. On calcule :

un+1un=[(n+3)2(n+1)2][(n+2)2n2]

un+1un=[n2+6n+9n22n1][n2+4n+4n2]

un+1un=[4n+8][4n+4]

un+1un=4n+84n4

un+1un=4

Etape 2

Conclure que (un) est arithmétique

S'il existe un réel r, tel que n, un+1un=r, alors on conclut que (un) est arithmétique.

On précise la valeur de sa raison r et de son premier terme (en général u0 ).

Lorsque l'on montre que pour tout entier n, un+1un=r, la raison r doit être un réel qui ne dépend pas de n.

n, un+1un=4.

Donc (un) est arithmétique de raison r=4 et de premier terme u0=(0+2)202=4.

Etape 3

Donner l'écriture explicite de (un)

Si (un) est arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors :

n, un=u0+nr

Plus généralement, si le premier terme est up, alors :

np, un=up+(np)r

Comme (un) est arithmétique de raison r=4 et de premier terme u0=4, alors n, un=u0+nr.

Ainsi :

n, un=4+4n=4(n+1)

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