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Calculer les premiers termes d'une suite

Méthode 1

Si la suite est définie de manière explicite

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est définie de manière explicite, il suffit de remplacer n par le numéro voulu pour obtenir la valeur du terme correspondant. On peut alors calculer simplement les premiers termes de la suite.

Soit la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right) }\) définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n = \dfrac{1}{n+1}-1}\)

Calculer les valeurs de \(\displaystyle{u_0}\), \(\displaystyle{u_1}\) et \(\displaystyle{u_2}\).

Etape 1

Rappeler l'écriture de la suite

On rappelle l'écriture des termes de la suite : \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n =f\left(n\right)}\).

On a, \(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{u_n =\dfrac{1}{n+1}-1}\).

Etape 2

Remplacer n

On remplace n dans l'expression de \(\displaystyle{u_n}\) :

  • Par 0 pour calculer \(\displaystyle{u_0}\)
  • Par 1 pour calculer \(\displaystyle{u_1}\)
  • Par 2 pour calculer \(\displaystyle{u_2}\), etc.

On remplace n par 0 dans l'expression de \(\displaystyle{u_n}\).

On obtient :

\(\displaystyle{u_0 = \dfrac{1}{0+1}-1}\)

Donc \(\displaystyle{u_0 = 0}\)

On remplace n par 1 dans l'expression de \(\displaystyle{u_n}\).

On obtient :

\(\displaystyle{u_1 = \dfrac{1}{1+1}-1}\)

Donc \(\displaystyle{u_1 = -\dfrac{1}{2}}\)

On remplace ensuite n par 2 dans l'expression de \(\displaystyle{u_n}\).

On obtient :

\(\displaystyle{u_2 = \dfrac{1}{2+1}-1}\)

Donc \(\displaystyle{u_2= -\dfrac{2}{3}}\)

Penser à bien remplacer tous les n de l'expression par le numéro voulu et à respecter les opérations.

Méthode 2

Si la suite est définie par récurrence

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est définie par récurrence, on calcule chaque terme à partir du (ou des) terme(s) précédent(s). On peut donc calculer un à un les premiers termes de la suite.

Soit la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right) }\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0 = 1 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =3u_n+2\end{cases}}\)

Donner les valeurs de \(\displaystyle{u_0}\), \(\displaystyle{u_1}\) et \(\displaystyle{u_2}\).

Etape 1

Rappeler l'écriture de la suite

On rappelle l'écriture des termes de la suite :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =f\left(u_n\right)\end{cases}}\)

On a :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0 = 1 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{ n+1} =3u_n+2\end{cases}}\)

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{u_1}\) à partir de \(\displaystyle{u_0}\)

On a, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1} = f\left(u_n\right)}\). De plus, on connaît la valeur de \(\displaystyle{u_0}\).

Ainsi, en remplaçant n par 0, on obtient :

\(\displaystyle{u_{1} = f\left(u_0\right)}\)

En remplaçant n par 0, on obtient :

\(\displaystyle{u_1 = 3u_0+2}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{u_1 = 3\times 1+2}\)

\(\displaystyle{u_1 = 5}\)

Etape 3

Calculer \(\displaystyle{u_2}\) à partir de \(\displaystyle{u_1}\)

On a, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1} = f\left(u_n\right)}\). De plus, on connaît désormais la valeur de \(\displaystyle{u_1}\).

Ainsi, en remplaçant n par 1, on peut calculer :

\(\displaystyle{u_{2} = f\left(u_1\right)}\)

En remplaçant n par 1, on obtient :

\(\displaystyle{u_2 = 3u_1+2}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{u_2 = 3\times 5+2}\)

\(\displaystyle{u_2 = 17}\)

Etape 4

Calculer les termes suivants

On procède de la même manière pour calculer les autres termes demandés.

Ici, on ne demande pas la valeur de \(\displaystyle{u_3}\). On peut donc s'arrêter là.