On considère le triangle ABC tel que :
- \widehat{BAC} = 60°
- AB = 3
- AC = 8
D'après la relation d'Al-Kashi, quelle est la valeur de BC^2 ?
Dans le triangle ABC, on sait que AB=3, AC=8 et que l'angle \widehat{BAC}=60^\circ.
D'après le théorème d'Al-Kashi, on a :
BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right)\\BC^2=3^2+8^2-2\times3\times8\times\cos\left(60^\circ\right)\\BC^2=73-48\cos\left(60^\circ\right)\\BC^2=73-48\times\cfrac{1}{2}\\BC^2=73-24
BC^2=49
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA} ?
D'après le théorème d'Al-Kashi, on obtient une autre relation :
AC^2=BC^2+AB^2-2\times BC\times AB\times \cos\left(\widehat{CBA}\right)\\
Donc :
AC^2-BC^2-AB^2=-2\times BC\times AB\times \cos\left(\widehat{CBA}\right)
Or :
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=BC\times BA\times \cos\left(\widehat{CBA}\right)
Donc :
AC^2-BC^2-AB^2=-2\times\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}
Donc :
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\cfrac{-AC^2+BC^2+AB^2}{2}
Donc :
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\cfrac{-8^2+49+3^2}{2}=\cfrac{-64+49+9}{2}=\cfrac{-6}{2}=-3
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=-3