On considère le triangle TRI tel que :
- \widehat{RTI} = 45°
- TR=5
- TI = 10
D'après la relation d'Al-Kashi, quelle est la valeur de RI^2 ?
Dans le triangle TRI, on a TR=5, TI=10 et l'angle \widehat{RTI}=45^\circ.
D'après le théorème d'Al-Kashi, on a :
RI^2=TR^2+TI^2-2\times TR\times TI\times\cos\left(\widehat{RTI}\right)\\RI^2=5^2+10^2-2\times5\times10\times\cos\left(45^\circ\right)\\RI^2=125-100\cfrac{\sqrt{2}}{2}\\
RI^2=125-50\sqrt{2}
Quelle est la valeur du produit scalaire \overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{RT} ?
On va calculer le produit scalaire \overrightarrow{IR}\cdot \overrightarrow{RT} par 2 méthodes différentes :
Méthode 1 :
D'après le cours, on utilise la formule suivante :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\cfrac{1}{2}\left[\left\| u+v \right\|^2-\left\| u \right\|^2-\left\| v \right\|^2\right],
On pose \overrightarrow{u}=\overrightarrow{IR} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{RT}, donc :
\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{RT}=\cfrac{1}{2}\left[\left\| \overrightarrow{IR}+\overrightarrow{RT} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{IR} \right\| ^2-\left\| \overrightarrow{RT}\right\| ^2 \right]\\\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{RT}=\cfrac{1}{2}\left[\left\| \overrightarrow{IT} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{IR} \right\| ^2-\left\| \overrightarrow{RT}\right\| ^2 \right]\\\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{RT}=\cfrac{1}{2}\left[IT^2-IR^2-RT^2 \right]\\\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{RT}=\cfrac{1}{2}\left[10^2-\left(125-50\sqrt{2}\right)-5^2 \right]\\\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{RT}=\cfrac{1}{2}\left[100-125+50\sqrt{2}-25 \right]\\\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{RT}=\cfrac{1}{2}\left[-50+50\sqrt{2} \right]\\\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{RT}=-25+25\sqrt{2}
Méthode 2 :
On remarque que :
\overrightarrow{IR}\cdot \overrightarrow{RT}=-\overrightarrow{RI}\cdot \overrightarrow{RT}
De plus, d'après le théorème d'Al-Kashi on a :
TI^2=RI^2+RT^2-2RI\times RT\times\cos\left(\widehat{TRI}\right)
Or :
\overrightarrow{RI}\cdot \overrightarrow{RT}=RI\times RT\times\cos\left(\widehat{TRI}\right) donc :
TI^2=RI^2+RT^2-2\overrightarrow{RI}\cdot\overrightarrow{RT} donc :
\overrightarrow{RI}\cdot\overrightarrow{RT}=\cfrac{-TI^2+RI^2+TR^2}{2}
\overrightarrow{RI}\cdot\overrightarrow{RT}=\cfrac{-100+125-50\sqrt{2}+25}{2}
\overrightarrow{RI}\cdot\overrightarrow{RT}=\cfrac{50-50\sqrt{2}}{2}
\overrightarrow{RI}\cdot\overrightarrow{RT}=25-25\sqrt{2}
Or :
\overrightarrow{IR}\cdot \overrightarrow{RT}=-\overrightarrow{RI}\cdot \overrightarrow{RT} donc :
\overrightarrow{IR}\cdot \overrightarrow{RT}=-\left(25-25\sqrt{2}\right)
\overrightarrow{IR}\cdot \overrightarrow{RT}=-25+25\sqrt{2}
\overrightarrow{IR}\cdot\overrightarrow{RT}=-25+25\sqrt{2}