Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Déterminer la limite d'une fonction composée

On cherche parfois à déterminer la limite en a de la fonction h définie comme la composée de deux fonctions f et g (h=fg), où a représente un réel, + ou .

Déterminer la limite en + de la fonction h définie par :

x+, h(x)=e1x

Etape 1

Déterminer la limite de la première fonction

On a h=fg.

On détermine dans un premier temps la limite de g en a.

On sait que :

limx+1x=0

Etape 2

Effectuer le changement de variable

On pose le changement de variable X=g(x) dans l'expression de la fonction h.

En posant le changement de variable X=1x, on a :

e1x=eX

Etape 3

Calculer la deuxième limite

On détermine la limite quand X tend vers b de la fonction f, où b est la limite de la fonction g lorsque x tend vers a.

De plus, on sait que :

limX0eX=1

Etape 4

Conclure

En notant l la limite trouvée précédemment, on peut conclure :

limxah(x)=limxaf(g(x))=l

On a donc :

limx+e1x=1

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