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Déterminer la limite d'une fonction composée

On cherche parfois à déterminer la limite en a de la fonction h définie comme la composée de deux fonctions f et g (\(\displaystyle{h=f\circ g}\)), où a représente un réel, \(\displaystyle{+\infty}\) ou \(\displaystyle{-\infty}\).

Déterminer la limite en \(\displaystyle{+\infty}\) de la fonction h définie par :

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\ h\left( x \right)=e^\dfrac1x}\)

Etape 1

Déterminer la limite de la première fonction

On a \(\displaystyle{h=f\circ g}\).

On détermine dans un premier temps la limite de g en a.

On sait que :

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \dfrac1x =0}\)

Etape 2

Effectuer le changement de variable

On pose le changement de variable \(\displaystyle{X=g\left(x\right)}\) dans l'expression de la fonction h.

En posant le changement de variable \(\displaystyle{X=\dfrac1x}\), on a :

\(\displaystyle{e^{\frac{1}{x}}=e^X}\)

Etape 3

Calculer la deuxième limite

On détermine la limite quand X tend vers b de la fonction f, où b est la limite de la fonction g lorsque x tend vers a.

De plus, on sait que :

\(\displaystyle{\lim_{X \to 0} e^X=1}\)

Etape 4

Conclure

En notant l la limite trouvée précédemment, on peut conclure :

\(\displaystyle{\lim_{x \to a} h\left(x\right)=\lim_{x \to a}f\left(g\left(x\right)\right)=l}\)

On a donc :

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} e^{\frac1x}=1}\)

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