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Montrer qu'un vecteur est normal à un plan

Un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

On considère un plan trois points A, B et C non alignés tels que :

\(\displaystyle{A\left(1;0;4\right)}\), \(\displaystyle{B\left(-3;3;8\right)}\) et \(\displaystyle{C\left(3;-1;-4\right)}\)

Déterminer si le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 12 \cr\cr 1 \end{pmatrix}}\) est normal au plan \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\) .

Etape 1

Rappeler la définition

On rappelle qu'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) est normal au plan \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\) si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Etape 2

Déterminer deux vecteurs non colinéaires du plan

On détermine deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) non colinéaires du plan P.

Les points A, B et C n'étant pas alignés, on peut utiliser les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\). On détermine leurs coordonnées :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A \end{pmatrix}}\) soit \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3-1\cr\cr 3-0\cr\cr 8-4\end{pmatrix}}\) donc \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4\cr\cr 3\cr\cr 4\end{pmatrix}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A \end{pmatrix}}\) soit \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3-1\cr\cr -1-0\cr\cr -4-4\end{pmatrix}}\) donc \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\cr\cr -1\cr\cr -8\end{pmatrix}}\)
Etape 3

Calculer les produits scalaires

On calcule les produits scalaires \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{v}}\).

On calcule les produits scalaires \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}}\). :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} = 10 \times \left(-4\right) + 12 \times 3 + 1\times 4 = -40+36+4=0}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} = 10 \times 2 + 12 \times \left(-1\right) + 1\times \left(-8\right) = 20 -12-8=0}\)
Etape 4

Conclure

Si on obtient \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = 0}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{v} = 0}\), alors \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) est un vecteur normal au plan.

On obtient :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} = 0}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} = 0}\)

Donc le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\). On en conclut que \(\displaystyle{\overrightarrow{n}}\) est un vecteur normal au plan.

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